Каталог по темам

Задачи

Страница: << 110 111 112 113 114 115 116 >> [Всего задач: 594]

Задача 108201

Темы:	[	Пятиугольники	]
	[	Против большей стороны лежит больший угол	]
	[	Сумма углов треугольника. Теорема о внешнем угле.	]
	[	Принцип Дирихле (углы и длины)	]
	[	Признаки и свойства равнобедренного треугольника.	]

Сложность: 4+
Классы: 7,8,9,10

Автор: Берлов С.Л.

В выпуклом пятиугольнике ABCDE сторона AB перпендикулярна стороне CD, а сторона BC – стороне DE.
Докажите, что если AB = AE = ED = 1, то BC + CD < 1.

Прислать комментарий

Решение

Задача 115415

Темы:	[	Полуинварианты	]
	[	Четность и нечетность	]
	[	Теория алгоритмов (прочее)	]
	[	Принцип Дирихле (прочее)	]
	[	Оценка + пример	]

Сложность: 4+
Классы: 8,9,10,11

Автор: Трушин Б.

По кругу стоят 100 напёрстков. Под одним из них спрятана монетка. За один ход разрешается перевернуть четыре напёрстка и проверить, лежит ли под одним из них монетка. После этого их возвращают в исходное положение, а монетка перемещается под один из соседних с ней напёрстков. За какое наименьшее число ходов наверняка удастся обнаружить монетку?

Прислать комментарий

Решение

Задача 73786

Темы:	[	Перестройки	]
	[	Полуинварианты	]
	[	Индукция в геометрии	]
	[	Принцип Дирихле (углы и длины)	]

Сложность: 4+
Классы: 7,8,9

Автор: Шлейфер Р.

Дано n фишек нескольких цветов, причём фишек каждого цвета не более n/2. Докажите, что их можно расставить на окружности так, чтобы никакие две фишки одинакового цвета не стояли рядом.

Прислать комментарий Решение

Задача 78609

Темы:	[	Разрезания на части, обладающие специальными свойствами	]
	[	Индукция в геометрии	]
	[	Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства	]
	[	Принцип Дирихле (конечное число точек, прямых и т. д.)	]

Сложность: 4+
Классы: 8,9,10

В квадрате расположено K точек (K > 2). На какое наименьшее число треугольников нужно разбить квадрат, чтобы в каждом треугольнике находилось не более одной точки?

Прислать комментарий Решение

Задача 78548

Темы:	[	Процессы и операции	]
	[	Разбиения на пары и группы; биекции	]
	[	Перестановки и подстановки (прочее)	]
	[	Принцип Дирихле (прочее)	]

Сложность: 5-
Классы: 9,10,11

При дворе короля Артура собрались 2n рыцарей, причём каждый из них имеет среди присутствующих не более n – 1 врага.
Доказать, что Мерлин, советник Артура, может так рассадить рыцарей за круглым столом, что ни один из них не будет сидеть рядом со своим врагом.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 110 111 112 113 114 115 116 >> [Всего задач: 594]