Страница:
<< 112 113 114 115
116 117 118 >> [Всего задач: 594]
|
|
|
Сложность: 5
Классы: 10,11
|
а) Доказать, что сумма цифр числа K не более чем в 8 раз превосходит сумму цифр числа 8K.
б) Для каких натуральных k существует такое положительное число ck, что 
≥ ck для всех натуральных N? Найдите наибольшее подходящее значение ck.
|
|
|
Сложность: 5
Классы: 8,9,10
|
В таблице из n столбцов и 2n строк, в которых выписаны все возможные различные наборы из n чисел 1 и –1, некоторые числа заменены нулями. Докажите, что можно выбрать некоторое непустое подмножество строк так, что:
а) сумма всех чисел в выбранных строках равна 0;
б) сумма всех выбранных строк есть нулевая строка.
(Строки складываются покоординатно как векторы.)
|
|
|
Сложность: 5
Классы: 8,9,10,11
|
Клетки таблицы 100×100 окрашены в 4 цвета так, что в каждой строке и в каждом столбце ровно по 25 клеток каждого цвета.
Докажите, что найдутся две строки и два столбца, все четыре клетки на пересечении которых окрашены в разные цвета.
|
|
|
Сложность: 5
Классы: 9,10,11
|
В стране 1001 город, каждые два города соединены дорогой с односторонним движением. Из каждого города выходит ровно 500 дорог, в каждый город входит ровно 500 дорог. От страны отделилась независимая республика, в которую вошли 668 городов. Докажите, что из каждого города этой республики можно доехать до любого другого ее города, не выезжая за пределы республики.
|
|
|
Сложность: 5
Классы: 10,11
|
Можно ли расположить в пространстве 12 прямоугольных параллелепипедов
P1 ,
P2 ,
P12
,
ребра которых параллельны координатным осям
Ox ,
Oy ,
Oz так, чтобы
P2 пересекался (т.е. имел хотя бы одну общую точку)
с каждым из оставшихся, кроме
P1 и
P3 ,
P3 пересекался с каждым из оставшихся, кроме
P2 и
P4 , и т.д.,
P12
пересекался с каждым из оставшихся, кроме
P11
и
P1 ,
P1 пересекался с каждым из оставшихся, кроме
P12
и
P2 ?
(Поверхность параллелепипеда принадлежит ему.)
Страница:
<< 112 113 114 115
116 117 118 >> [Всего задач: 594]
Фильтр
