Страница:
<< 15 16 17 18
19 20 21 >> [Всего задач: 161]
|
|
|
Сложность: 3+
Классы: 9,10
|
Доказать, что шахматную доску размером 4 на 4 нельзя обойти ходом
шахматного коня, побывав на каждом поле ровно один раз.
|
|
|
Сложность: 4-
Классы: 8,9,10,11
|
Двое играют на треугольной
доске (см. рис.), закрашивая по очереди на ней треугольные
клеточки. Одна клетка (начальная) уже закрашена перед началом
игры.
Первым ходом закрашивается клеточка, граничащая (по стороне)
с начальной, а каждым следующим ходом — клетка, граничащая с
только что закрашенной. Повторно клетки красить нельзя. Тот, кто
не может сделать ход, проигрывает. Кто
— начинающий или его соперник
— победит в этой игре, как бы ни играл его партнёр?
Рассмотрите случаи:
а) Начальная клетка — угловая, поле любого размера;
б) Поле и начальная клетка как на рисунке к этому заданию;
в) Общий случай: поле любого размера, и начальная клетка в нём
произвольная.
г)
Дополнительное задание. Можно подумать, что начальная
клетка определяет исход партии независимо от действий игроков.
Нарисуйте, однако, на каком-нибудь поле примеры таких двух партий
с одной и той же начальной клеткой, чтобы в первой побеждал
начинающий, а во второй — его партнёр. Для удобства нумеруйте
клетки: начальная — 0, первым ходом красится клетка 1,
вторым — 2 и т. д.
В левом нижнем углу клетчатой доски n×n стоит конь. Известно, что наименьшее число ходов, за которое конь может дойти до правого верхнего угла, равно наименьшему числу ходов, за которое он может дойти до правого нижнего угла. Найдите n.
|
|
|
Сложность: 4-
Классы: 8,9,10
|
В таблице n×n разрешается добавить ко всем числам любого несамопересекающегося замкнутого маршрута ладьи по 1. В первоначальной таблице по диагонали стояли единицы, а остальные были нули. Можно ли с помощью нескольких разрешённых преобразований добиться того, что все числа в таблице станут равны? (Считается, что ладья побывала во всех клетках таблицы, через которые проходит её путь.)
Можно ли замостить доску 2003×2003 доминошками 1×2, которые разрешается располагать только горизонтально, и прямоугольниками 1×3, которые разрешается располагать только вертикально? (Две стороны доски условно
считаются горизонтальными, а две другие – вертикальными.)
Страница:
<< 15 16 17 18
19 20 21 >> [Всего задач: 161]
Фильтр
