Страница:
<< 22 23 24 25
26 27 28 >> [Всего задач: 399]
На сторонах AB и BC треугольника ABC выбраны точки M и N соответственно. Отрезки AN и CM пересекаются в точке O, причём AO = CO. Обязательно ли треугольник ABC равнобедренный, если а) AM = CN; б) BM = BN?
|
|
|
Сложность: 4+
Классы: 7,8,9,10
|
Дана незамкнутая несамопересекающаяся ломаная из 37 звеньев. Через каждое звено провели прямую.
Какое наименьшее число различных прямых могло получиться?
|
|
|
Сложность: 4+
Классы: 8,9,10
|
Можно ли множество всех натуральных чисел разбить на непересекающиеся конечные подмножества A1, A2, A3, ... так, чтобы при любом натуральном k сумма
всех чисел, входящих в подмножество Ak, равнялась k + 2013?
|
|
|
Сложность: 5-
Классы: 10,11
|
В ящике лежат два ящика поменьше, в каждом из них ещё по два ящика и т.д. n раз. В каждом из 2n маленьких ящиков лежит по монете, причём одни вверх гербом, а остальные – вверх решкой. За один ход разрешается перевернуть один любой ящик вместе со всем, что в нём лежит. Доказать, что не больше, чем за n ходов можно расположить ящики так, что число монет, лежащих вверх гербом, будет равно числу монет, лежащих вверх решкой.
Две команды шахматистов одинаковой численности сыграли матч: каждый сыграл по одному разу с каждым из другой команды. В каждой партии давали 1 очко за победу, ½ – за ничью и 0 – за поражение. В итоге команды набрали поровну очков. Докажите, что какие-то два участника матча тоже набрали поровну очков, если в обеих командах было:
а) по 5 шахматистов;
б) произвольное равное число шахматистов.
Страница:
<< 22 23 24 25
26 27 28 >> [Всего задач: 399]
Фильтр
