Страница: << 20 21 22 23 24 25 26 >> [Всего задач: 399]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 98548

Темы:   [ Десятичная система счисления ] [ Доказательство от противного ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

Известно, что число 2³³³ имеет 101 цифру и начинается с цифры 1. Сколько чисел в ряду 2, 4, 8, 16, ..., 2³³³ начинается с цифры 4?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 102995

Темы:   [ Характеристические свойства и рекуррентные соотношения ] [ Доказательство от противного ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ] [ Индукция (прочее) ]

Сложность: 4 Классы: 9,10,11

Существуют ли такие две функции  f и g, принимающие только целые значения, что для любого целого x выполнены соотношения:
  а)  f(f(x)) = x,  g(g(x)) = x,   f(g(x)) > x,  g(f(x)) > x?
  б)  f(f(x)) < x, g(g(x)) < x,   f(g(x)) > x,  g(f(x)) > x?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 109685

Темы:   [ Рациональные и иррациональные числа ] [ Доказательство от противного ] [ Линейные неравенства и системы неравенств ]

Сложность: 4 Классы: 9,10,11

Во всех рациональных точках действительной прямой расставлены целые числа.
Докажите, что найдётся такой отрезок, что сумма чисел на его концах не превосходит удвоенного числа в его середине.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 110012

Темы:   [ Процессы и операции ] [ Доказательство от противного ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10

Лабиринт представляет собой квадрат 8×8, в каждой клетке 1×1 которого нарисована одна из четырёх стрелок (вверх, вниз, вправо, влево). Верхняя сторона правой верхней клетки – выход из лабиринта. В левой нижней клетке находится фишка, которая каждым своим ходом перемещается на одну клетку в направлении, указанном стрелкой. После каждого хода стрелка в клетке, в которой только что была фишка, поворачивается на 90° по часовой стрелке. Если фишка должна сделать ход, выводящий ее за пределы квадрата 8×8, она остается на месте, а стрелка также поворачивается на 90° по часовой стрелке. Докажите, что рано или поздно фишка выйдет из лабиринта.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 110209

Темы:   [ Квадратные уравнения. Теорема Виета ] [ Доказательство от противного ] [ Подсчет двумя способами ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10

Даны  n > 1  приведённых квадратных трёхчленов  x² – a₁x + b₁,  ...,  x² – a_nx + b_n,  причём все 2n чисел  a₁, ..., a_n, b₁, ..., b_n  различны.
Может ли случиться, что каждое из чисел  a₁, ..., a_n, b₁, ..., b_n  является корнем одного из этих трёхчленов?

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 20 21 22 23 24 25 26 >> [Всего задач: 399]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями