Страница:
<< 38 39 40 41
42 43 44 >> [Всего задач: 399]
Вначале на плоскости были отмечены три различные точки. Каждую минуту выбирались некоторые три из отмеченных точек – обозначим их A, B и C, после чего на плоскости отмечалась точка D, симметричная A относительно серединного перпендикуляра к BC. Через сутки оказалось, что среди отмеченных точек нашлись три различные точки, лежащие на одной прямой. Докажите, что три исходных точки также лежали на одной прямой.
|
|
|
Сложность: 3+
Классы: 7,8,9,10
|
Каждая точка пространства окрашена в один из пяти цветов, причем
каждым из этих пяти цветов окрашена хотя бы одна точка.
Докажите, что найдется плоскость, все точки которой окрашены не
менее, чем в 4 цвета.
|
|
|
Сложность: 3+
Классы: 9,10,11
|
Последовательность f(n) (n=1,2,...), состоящая из натуральных
чисел, такова, что f(f(n))=f(n+1)+f(n) для всех натуральных n.
Докажите, что все члены этой последовательности различны.
В шахматном турнире на звание мастера спорта участвовало 12 человек, каждый
сыграл с каждым по одной партии. За победу в партии даётся 1 очко, за ничью – 0,5 очка, за поражение – 0 очков. По итогам турнира звание мастера спорта присваивали, если участник набрал более 70% от числа очков, получаемых в
случае выигрыша всех партий. Могли ли получить звание мастера спорта
а) 7 участников;
б) 8 участников?
|
|
|
Сложность: 4-
Классы: 7,8,9
|
В связном графе степени четырёх вершин равны 3, а степени остальных вершин равны 4.
Докажите, что нельзя удалить ребро так, чтобы граф распался на две изоморфные компоненты связности.
Страница:
<< 38 39 40 41
42 43 44 >> [Всего задач: 399]
Фильтр
