Страница:
<< 44 45 46 47
48 49 50 >> [Всего задач: 416]
Ненулевые числа a, b, c таковы, что каждые два из трёх уравнений ax11 + bx4 + c = 0, bx11 + cx4 + a = 0, cx11 + ax4 + b = 0 имеют общий корень. Докажите, что все три уравнения имеют общий корень.
Учитель написал на доске в алфавитном порядке все возможные 2n слов, состоящих из n букв А или Б. Затем он заменил каждое слово на произведение n множителей, исправив каждую букву А на x, а каждую букву Б – на (1 – x), и сложил между собой несколько первых из этих многочленов от x. Докажите, что полученный многочлен представляет собой либо постоянную, либо возрастающую на отрезке [0, 1] функцию от x.
|
|
|
Сложность: 4+
Классы: 9,10,11
|
Пусть a, b – натуральные числа и (a, b) = 1. Докажите, что величина 
не может быть действительным
числом за исключением случаев
(a, b) = (1, 1), (1,3), (3,1).
|
[Неравенство Юнга]
|
|
Сложность: 4+
Классы: 9,10,11
|
Даны рациональные положительные p, q, причём 1/p + 1/q = 1. Докажите, что для положительных a и b выполняется неравенство ab ≤ ap/p + bq/q.
|
[Неравенство Гёльдера]
|
|
Сложность: 4+
Классы: 10,11
|
Пусть p и q – положительные числа, причём
1/p + 1/q = 1. Докажите, что 
Значения переменных считаются положительными.
Страница:
<< 44 45 46 47
48 49 50 >> [Всего задач: 416]
Фильтр
