Каталог по темам

Задачи

Страница: << 46 47 48 49 50 51 52 >> [Всего задач: 416]

Задача 107838

Темы:	[	Десятичная система счисления	]
	[	Рациональные и иррациональные числа	]
	[	Принцип Дирихле (углы и длины)	]
	[	Показательные функции и логарифмы (прочее)	]
	[	Последовательности (прочее)	]

Сложность: 4+
Классы: 10,11

Автор: Канель-Белов А.Я.

Рассмотрим степени пятерки: 1, 5, 25, 125, 625, ... Образуем последовательность их первых цифр: 1, 5, 2, 1, 6, ...
Докажите, что любой кусок этой последовательности, записанный в обратном порядке, встретится в последовательности первых цифр степеней двойки (1, 2, 4, 8, 1, 3, 6, 1, ...).

Прислать комментарий

Решение

Задача 111829

Темы:	[	Метод спуска	]
	[	Целая и дробная части. Принцип Архимеда	]
	[	Обыкновенные дроби	]
	[	Рекуррентные соотношения	]

Сложность: 4+
Классы: 9,10,11

Автор: Голованов А.С.

В бесконечной последовательности (x_n) первый член x₁ – рациональное число, большее 1, и x_n+1 = x_n + ¹/_{[x_n]} при всех натуральных n.
Докажите, что в этой последовательности есть целое число.

Прислать комментарий

Решение

Задача 35541

Темы:	[	Показательные уравнения	]
	[	Возрастание и убывание. Исследование функций	]
	[	Корни. Степень с рациональным показателем (прочее)	]

Сложность: 4+
Классы: 10,11

Решите уравнение $2x^x=\sqrt{2}$ в положительных числах.

Прислать комментарий Решение

Задача 55621

[Первая задача о бильярде]

Темы:	[	Симметрия помогает решить задачу	]
Темы:	[	Рациональные и иррациональные числа	]

Сложность: 4+
Классы: 8,9

Дан прямоугольный бильярд со сторонами 1 и $\sqrt{2}$ . Из его угла под углом 45^o к стороне выпущен шар. Попадет ли он когда-нибудь в лузу? (Лузы находятся в углах бильярда).

Прислать комментарий Решение

Задача 58299

Темы:	[	Системы точек и отрезков. Примеры и контрпримеры	]
Темы:	[	Рациональные и иррациональные числа	]

Сложность: 4+
Классы: 8,9

Пусть n $\ge$ 3. Существуют ли n точек, не лежащих на одной прямой, попарные расстояния между которыми иррациональны, а площади всех треугольников с вершинами в них рациональны?

Прислать комментарий Решение

Страница: << 46 47 48 49 50 51 52 >> [Всего задач: 416]