Страница:
<< 49 50 51 52
53 54 55 >> [Всего задач: 423]
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 9,10,11
|
Последовательность
(
an)
задана условиями
a1= 1000000
,
an+1
=n[
]
+n . Докажите, что в ней можно выделить бесконечную подпоследовательность, являющуюся арифметической прогрессией.
Ненулевые числа a, b, c таковы, что каждые два из трёх уравнений ax11 + bx4 + c = 0, bx11 + cx4 + a = 0, cx11 + ax4 + b = 0 имеют общий корень. Докажите, что все три уравнения имеют общий корень.
Учитель написал на доске в алфавитном порядке все возможные 2n слов, состоящих из n букв А или Б. Затем он заменил каждое слово на произведение n множителей, исправив каждую букву А на x, а каждую букву Б – на (1 – x), и сложил между собой несколько первых из этих многочленов от x. Докажите, что полученный многочлен представляет собой либо постоянную, либо возрастающую на отрезке [0, 1] функцию от x.
|
|
|
Сложность: 4+
Классы: 9,10,11
|
Пусть a, b – натуральные числа и (a, b) = 1. Докажите, что величина 
не может быть действительным
числом за исключением случаев
(a, b) = (1, 1), (1,3), (3,1).
|
[Формула Эйлера]
|
|
Сложность: 4+
Классы: 10,11
|
Пусть a и b – действительные числа. Определим показательную функцию на множестве комплексных чисел равенством
Докажите формулу Эйлера:
ea+ib = ea(cos b + i sin b).
Страница:
<< 49 50 51 52
53 54 55 >> [Всего задач: 423]
Фильтр
