Каталог по темам

Задачи

Страница: << 51 52 53 54 55 56 57 >> [Всего задач: 423]

Задача 88296

Темы:	[	Классические неравенства	]
Темы:	[	Ряды с неотрицательными членами	]

Сложность: 4+
Классы: 7,8,9

Найдется ли такое n, при котором ? А больше 1000?

Прислать комментарий

Решение

Задача 107838

Темы:	[	Десятичная система счисления	]
	[	Рациональные и иррациональные числа	]
	[	Принцип Дирихле (углы и длины)	]
	[	Показательные функции и логарифмы (прочее)	]
	[	Последовательности (прочее)	]

Сложность: 4+
Классы: 10,11

Автор: Канель-Белов А.Я.

Рассмотрим степени пятерки: 1, 5, 25, 125, 625, ... Образуем последовательность их первых цифр: 1, 5, 2, 1, 6, ...
Докажите, что любой кусок этой последовательности, записанный в обратном порядке, встретится в последовательности первых цифр степеней двойки (1, 2, 4, 8, 1, 3, 6, 1, ...).

Прислать комментарий

Решение

Задача 109734

Темы:	[	Исследование квадратного трехчлена	]
	[	Производная и касательная	]
	[	Выпуклость и вогнутость (прочее)	]

Сложность: 4+
Классы: 10,11

Авторы: Берлов С.Л., Подлипский О.К.

Приведенные квадратные трёхчлены f(x) и g(x) принимают отрицательные значения на непересекающихся интервалах.
Докажите, что найдутся такие положительные числа α и β, что для любого действительного x будет выполняться неравенство αf(x) + βg(x) > 0.

Прислать комментарий

Решение

Задача 111829

Темы:	[	Метод спуска	]
	[	Целая и дробная части. Принцип Архимеда	]
	[	Обыкновенные дроби	]
	[	Рекуррентные соотношения	]

Сложность: 4+
Классы: 9,10,11

Автор: Голованов А.С.

В бесконечной последовательности (x_n) первый член x₁ – рациональное число, большее 1, и x_n+1 = x_n + ¹/_{[x_n]} при всех натуральных n.
Докажите, что в этой последовательности есть целое число.

Прислать комментарий

Решение

Задача 35541

Темы:	[	Показательные уравнения	]
	[	Возрастание и убывание. Исследование функций	]
	[	Корни. Степень с рациональным показателем (прочее)	]

Сложность: 4+
Классы: 10,11

Решите уравнение $2x^x=\sqrt{2}$ в положительных числах.

Прислать комментарий Решение

Страница: << 51 52 53 54 55 56 57 >> [Всего задач: 423]