Каталог по темам

Задачи

Страница: << 63 64 65 66 67 68 69 >> [Всего задач: 423]

Задача 66199

Темы:	[	Многочлены (прочее)	]
	[	Уравнения высших степеней (прочее)	]
	[	Производная и экстремумы	]
	[	Четность и нечетность	]

Сложность: 4-
Классы: 9,10,11

Автор: Кожевников П.А.

Пусть f(x) – некоторый многочлен ненулевой степени.
Может ли оказаться, что уравнение f(x) = a при любом значении a имеет чётное число решений?

Прислать комментарий

Решение

Задача 67623

Темы:	[	Теория алгоритмов (прочее)	]
	[	Многочлены (прочее)	]
	[	Функции. Непрерывность (прочее)	]
	[	Производная и экстремумы	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9,10,11

Автор: Шатунов Л.

Надя загадала многочлен $P(x)$ с вещественными коэффициентами. За один ход Максим может назвать любой многочлен $Q(x)$ с вещественными коэффициентами, а в ответ Надя должна сообщить Максиму следующие два факта:

достигается ли максимальное значение $P+Q$, и если да, то чему оно равно;
достигается ли минимальное значение $P+Q$, и если да, то чему оно равно.

Максим хочет последовательно сделать несколько таких ходов, а затем назвать такое вещественное число $t$, что $|P(2026)-t| < 10^{-100}$. Докажите, что Максим может действовать так, чтобы гарантированно добиться желаемого. (Максим сам решает, когда ему перестать задавать вопросы.)

Прислать комментарий

Решение

Задача 78136

Темы:	[	Квадратные уравнения и системы уравнений	]
	[	Квадратные уравнения. Формула корней	]
	[	Рациональные и иррациональные числа	]
	[	Целочисленные и целозначные многочлены	]

Сложность: 4-
Классы: 9,10

Доказать, что если уравнения с целыми коэффициентами x² + p₁x + q₁, x² + p₂x + q₂ имеют общий нецелый корень, то p₁ = p₂ и q₁ = q₂.

Прислать комментарий

Решение

Задача 79475

Темы:	[	Последовательности (прочее)	]
	[	Принцип крайнего (прочее)	]
	[	Частичные, верхние и нижние пределы	]

Сложность: 4-
Классы: 9

За дядькой Черномором выстроилось чередой бесконечное число богатырей. Доказать, что он может приказать части из них выйти из строя так, чтобы в строю осталось бесконечно много богатырей и все они стояли по росту (не обязательно в порядке убывания роста).

Прислать комментарий Решение

Задача 98264

Темы:	[	Уравнения в целых числах	]
	[	Расстояние между двумя точками. Уравнение сферы	]
	[	Рациональные и иррациональные числа	]
	[	Сферы (прочее)	]

Сложность: 4-
Классы: 10,11

Автор: Рубин А.

Существует ли такая сфера, на которой имеется ровно одна рациональная точка? (Рациональная точка – точка, у которой все три декартовы координаты – рациональные числа.)

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 63 64 65 66 67 68 69 >> [Всего задач: 423]