Страница: << 41 42 43 44 45 46 47 >> [Всего задач: 244]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 103940

Темы:   [ Отношение, в котором биссектриса делит сторону ] [ Симметрия помогает решить задачу ] [ Вспомогательные равные треугольники ] [ Две пары подобных треугольников ] [ Проективные преобразования прямой ] [ Окружность Аполлония ]

Сложность: 4+ Классы: 8,9,10

На плоскости дан угол и точка К внутри него. Доказать, что найдётся точка М, обладающая следующим свойством: если произвольная прямая, проходящая через К, пересекает стороны угла в точках А и В, то МК является биссектрисой угла АМВ.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 108136

Темы:   [ Поворот помогает решить задачу ] [ Длины и периметры (геометрические неравенства) ] [ Вспомогательные равные треугольники ] [ Неравенство треугольника (прочее) ] [ Вписанные и описанные окружности ]

Сложность: 4+ Классы: 8,9

Пусть O – центр описанной окружности треугольника ABC. На сторонах AB и BC выбраны точки M и N соответственно, причём  2∠MON = ∠AOC.  Докажите, что периметр треугольника MBN не меньше стороны AC.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 108249

Темы:   [ Теоремы Чевы и Менелая ] [ Две касательные, проведенные из одной точки ] [ Вспомогательные равные треугольники ] [ Три точки, лежащие на одной прямой ] [ Вписанные и описанные окружности ]

Сложность: 4+ Классы: 8,9,10,11

Окружность с центром O, вписанная в треугольник ABC, касается стороны AC в точке K. Вторая окружность, также с центром O, пересекает все стороны треугольника ABC. Пусть E и F – её точки пересечения со сторонами соответственно AB и BC, ближайшие к вершине B; B₁ и B₂ – точки её пересечения со стороной AC, B₁ – ближе к A. Докажите, что точки B, K и точка P пересечения отрезков B₂E и B₁F лежат на одной прямой.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 116898

Темы:   [ Вписанные и описанные окружности ] [ Треугольники с углами $60^\circ$ и $120^\circ$ ] [ Вспомогательные равные треугольники ]

Сложность: 4+ Классы: 8,9

Дан равнобедренный треугольник ABC, в котором  ∠B = 120°.  На продолжениях сторон AB и CB за точку B взяли точки P и Q соответственно так, что лучи AQ и CP пересекаются под прямым углом. Докажите, что  ∠PQB = 2∠PCQ.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 111725

Темы:   [ Свойства симметрии и центра симметрии ] [ Прямые и кривые, делящие фигуры на равновеликие части ] [ Вспомогательные равные треугольники ] [ Площади криволинейных фигур ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]

Сложность: 5 Классы: 9,10,11

а) Многоугольник обладает следующим свойством: если провести прямую через любые две точки, делящие его периметр пополам, то эта прямая разделит многоугольник на два равновеликих многоугольника. Верно ли, что многоугольник центрально симметричен?
б) Верно ли, что любая фигура, обладающая свойством, указанным в п.а), центрально симметрична?

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 41 42 43 44 45 46 47 >> [Всего задач: 244]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями