Каталог по темам

Задачи

Страница: << 107 108 109 110 111 112 113 >> [Всего задач: 1672]

Задача 56856

Тема:

[

Прямоугольные треугольники (прочее)

]

Сложность: 5
Классы: 8

На гипотенузе AB прямоугольного треугольника ABC внешним образом построен квадрат ABPQ. Пусть $\alpha$ = $\angle$ ACQ, $\beta$ = $\angle$ QCP и $\gamma$ = $\angle$ PCB. Докажите, что cos $\beta$ = cos $\alpha$ cos $\gamma$ .

Прислать комментарий Решение

Задача 56869

Тема:

[

Треугольники с углами $60^\circ$ и $120^\circ$

]

Сложность: 5
Классы: 8,9

В остроугольном треугольнике ABC с углом A, равным 60^o, высоты пересекаются в точке H.
а) Пусть M и N — точки пересечения серединных перпендикуляров к отрезкам BH и CH со сторонами AB и AC соответственно. Докажите, что точки M, N и H лежат на одной прямой.
б) Докажите, что на той же прямой лежит центр O описанной окружности.

Прислать комментарий Решение

Задача 56873

Тема:

[

Целочисленные треугольники

]

Сложность: 5
Классы: 8,9

Радиус вписанной окружности треугольника равен 1, а длины его сторон — целые числа. Докажите, что эти числа равны 3, 4, 5.

Прислать комментарий Решение

Задача 56874

Тема:

[

Целочисленные треугольники

]

Сложность: 5
Классы: 8,9

Приведите пример вписанного четырехугольника с попарно различными целочисленными длинами сторон, у которого длины диагоналей, площадь и радиус описанной окружности — целые числа (Брахмагупта).

Прислать комментарий Решение

Задача 56875

Тема:

[

Целочисленные треугольники

]

Сложность: 5
Классы: 8,9

а) Укажите два прямоугольных треугольника, из которых можно сложить треугольник, длины сторон и площадь которого — целые числа.
б) Докажите, что если площадь треугольника — целое число, а длины сторон — последовательные натуральные числа, то этот треугольник можно сложить из двух прямоугольных треугольников с целочисленными сторонами.

Прислать комментарий Решение

Страница: << 107 108 109 110 111 112 113 >> [Всего задач: 1672]