Каталог по темам

Задачи

Страница: << 37 38 39 40 41 42 43 >> [Всего задач: 373]

Задача 57467

Тема:

[

Неравенства для площади треугольника

]

Сложность: 5
Классы: 9

На сторонах BC, CA и AB треугольника ABC взяты точки A₁, B₁ и C₁, причем AA₁, BB₁ и CC₁ пересекаются в одной точке. Докажите, что S_A₁B₁C₁/S_ABC $\leq$ 1/4.

Прислать комментарий Решение

Задача 57468

Тема:

[

Неравенства для площади треугольника

]

Сложность: 5
Классы: 9

На сторонах BC, CA и AB треугольника ABC взяты произвольные точки A₁, B₁ и C₁. Пусть a = S_AB₁C₁, b = S_A₁BC₁, c = S_A₁B₁C и u = S_A₁B₁C₁. Докажите, что

u³ + (a + b + c)u² $\displaystyle \geq$ 4abc.

Прислать комментарий

Решение

Задача 57474

Тема:

[

Против большей стороны лежит больший угол

]

Сложность: 5
Классы: 9

Докажите, что выпуклый пятиугольник ABCDE с равными сторонами, углы которого удовлетворяют неравенствам $\angle$ A $\geq$ $\angle$ B $\geq$ $\angle$ C $\geq$ $\angle$ D $\geq$ $\angle$ E, является правильным.

Прислать комментарий Решение

Задача 57478

Тема:

[

Отрезок внутри треугольника меньше наибольшей стороны

]

Сложность: 5
Классы: 8

Внутри окружности расположен выпуклый пятиугольник. Докажите, что хотя бы одна из его сторон не больше стороны правильного пятиугольника, вписанного в эту окружность.

Прислать комментарий Решение

Задача 57479

Тема:

[

Отрезок внутри треугольника меньше наибольшей стороны

]

Сложность: 5
Классы: 8

Даны треугольник ABC со сторонами a > b > c и произвольная точка O внутри его. Пусть прямые AO, BO, CO пересекают стороны треугольника в точках P, Q, R. Докажите, что OP + OQ + OR < a.

Прислать комментарий Решение

Страница: << 37 38 39 40 41 42 43 >> [Всего задач: 373]