Версия для печати
Убрать все задачи

---

Даны два различных приведённых кубических многочлена F(x) и G(x). Выписали все корни уравнений  F(x) = 0,  G(x) = 0,  F(x) = G(x). Оказалось, что выписаны восемь различных чисел. Докажите, что наибольшее и наименьшее из них не могут одновременно являться корнями многочлена F(x).

   Решение

---

Известно, что  а > 1.  Обязательно ли имеет место равенство   = ?

   Решение

---

Существует ли такая функция  f(x), определённая для всех действительных чисел, что  f(sin x) + f(cos x) = sin x?

   Решение

---

Найдите все значения x, удовлетворяющие неравенству  (2 – a)x³ + (1 – 2a)x² – 6x + 5 + 4a – a² < 0  хотя бы при одном значении a из отрезка  [–1, 2].

   Решение

---

Докажите, что если числа a₁, a₂, ..., a_m  отличны от нуля и для любого целого  k = 0, 1, ..., n  (n < m – 1)  выполняется равенство:
a₁ + a₂·2^k + a₃·3^k + ... + a_mm^k = 0,  то в последовательности a₁, a₂, ..., a_m  есть по крайней мере  n + 1  пара соседних чисел, имеющих разные знаки.

   Решение

---

В треугольнике ABC высота и медиана, проведённые из вершины A, образуют (вместе с прямой BC) треугольник, в котором биссектриса угла A является медианой, а высота и медиана, проведённые из вершины B, образуют (вместе с прямой AC) треугольник, в котором биссектриса угла B является биссектрисой. Найдите отношение сторон треугольника ABC.

   Решение

Страница: << 2 3 4 5 6 7 8 >> [Всего задач: 39]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 65248

Темы:   [ Взаимное расположение высот, медиан, биссектрис и проч. ] [ Вписанные и описанные окружности ] [ Центральная симметрия помогает решить задачу ] [ Конкуррентность высот. Углы между высотами. ] [ Четыре точки, лежащие на одной окружности ] [ Проективная геометрия (прочее) ]

Сложность: 4+ Классы: 9,10,11

В остроугольном неравнобедренном треугольнике ABC проведены медиана AM и высота AH. На прямых AB и AC отмечены точки Q и P соответственно так, что  QM ⊥ AC  и  PM ⊥ AB.  Описанная окружность треугольника PMQ пересекает прямую BC вторично в точке X. Докажите, что  BH = CX.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 53398

Темы:   [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ] [ Взаимное расположение высот, медиан, биссектрис и проч. ]

Сложность: 2+ Классы: 8,9

Медиана AM треугольника ABC перпендикулярна его биссектрисе BK. Найдите AB, если  BC = 12.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 53399

Темы:   [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ] [ Взаимное расположение высот, медиан, биссектрис и проч. ]

Сложность: 3- Классы: 8,9

Прямая, проведённая через вершину A треугольника ABC перпендикулярно его медиане BD, делит эту медиану пополам.
Найдите отношение сторон AB и AC.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 53445

Темы:   [ Сумма углов треугольника. Теорема о внешнем угле. ] [ Взаимное расположение высот, медиан, биссектрис и проч. ]

Сложность: 3- Классы: 8,9

Два угла треугольника равны 10° и 70°. Найдите угол между высотой и биссектрисой, проведёнными из вершины третьего угла треугольника.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 108621

Темы:   [ Сумма углов треугольника. Теорема о внешнем угле. ] [ Взаимное расположение высот, медиан, биссектрис и проч. ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

В треугольнике ABC биссектриса, проведённая из вершины A, высота, проведённая из вершины B, и серединный перпендикуляр к стороне AB пересекаются в одной точке. Найдите угол при вершине A.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 2 3 4 5 6 7 8 >> [Всего задач: 39]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями