Страница: << 7 8 9 10 11 12 13 >> [Всего задач: 70]
Высоты AA1, BB1 и CC1 остроугольного треугольника ABC пересекаются в точке H; точки A2, B2 и C2 –
середины отрезков AH, BH и CH соответственно. Рассмотрим шестиугольник, образованный пересечением треугольников A1B1C1 и A2B2C2. Докажите, что его диагонали, соединяющие
противоположные вершины, пересекаются в одной точке.
AA1 и CC1 — высоты остроугольного
треугольника ABC , в котором 
ABC = 45o .
Точки O и H — соответственно центр описанной
окружности и ортоцентр треугольника ABC . Докажите,
что прямая A1C1 проходит через середину отрезка
OH .
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 10,11
|
Докажите что в равногранном тетраэдре основания
высот, середины высот и точки пересечения высот
граней лежат на одной сфере (сфера 12-ти точек}.
|
|
|
Сложность: 4+
Классы: 9,10,11
|
На плоскости даны три прямые l1, l2, l3, образующие треугольник, и отмечена точка O – центр описанной окружности этого треугольника. Для произвольной точки X плоскости обозначим через Xi точку, симметричную точке X относительно прямой li, i = 1, 2, 3.
а) Докажите, что для произвольной точки M прямые, соединяющие середины отрезков O1O2 и M1M2, O2O3 и M2M3, O3O1 и M3M1, пересекаются в одной точке.
б) Где может лежать эта точка пересечения?
|
|
|
Сложность: 5-
Классы: 10,11
|
Дан треугольник ABC и прямая l, пересекающая BC, CA и AB в точках A1, B1 и C1 соответственно. Точка A' – середина отрезка, соединяющего проекции A1 на AB и AC. Аналогично определяются точки B' и C'.
а) Докажите, что A', B' и C' лежат на некоторой прямой l'.
б) Докажите, что, если l проходит через центр описанной окружности треугольника ABC, то l' проходит через центр его окружности девяти точек.
Страница: << 7 8 9 10 11 12 13 >> [Всего задач: 70]
Фильтр
