Страница:
<< 10 11 12 13 14 15 16 [Всего задач: 80]
|
|
|
Сложность: 5
Классы: 10,11
|
На плоскости нарисованы неравнобедренный треугольник ABC и вписанная в него окружность ω. Пользуясь только линейкой и проведя не более восьми линий, постройте на ω такие точки A′, B′, C′, что лучи B′C′, C′A′, A′B′ проходят через A, B, C соответственно.
|
|
|
Сложность: 5
Классы: 8,9,10,11
|
Диагональ правильного 2006-угольника P называется хорошей, если её концы делят границу P на две части, каждая из которых содержит нечётное число сторон. Стороны P также называются хорошими. Пусть P разбивается на треугольники 2003 диагоналями, никакие две из которых не имеют общих точек внутри P. Какое наибольшее число равнобедренных треугольников, каждый из которых имеет две хорошие стороны, может иметь такое разбиение?
|
|
|
Сложность: 7
Классы: 9,10,11
|
На бесконечном клетчатом листе белой бумаги
n клеток закрашены в чёрный цвет. В моменты времени
t = 1, 2, 3,... происходит одновременное перекрашивание всех клеток листа по следующему правилу: каждая клетка
k приобретает тот цвет, который имело в предыдущий момент большинство из трёх клеток: самой клетки
k и её соседей справа и сверху (если две или три из этих клеток были белыми, то
k становится белой, если две или три из них были чёрными,— то чёрной).
а) Докажите, что через конечное время на листе не останется ни одной чёрной клетки.
б) Докажите, что чёрные клетки исчезнут не позже, чем в момент времени t = n.
|
|
|
Сложность: 7
Классы: 10,11
|
Предлагается построить
N точек на плоскости так, чтобы все расстояния между ними равнялись заранее заданным числам: для любых двух точек
Mi и
Mj, где
i и
j — любые числа
от 1 до N.
Можно ли провести построение, если расстояния rij заданы так, что всякие 5 из N точек построить можно?
б) Достаточно ли требовать, чтобы можно было построить всякие 4 из N точек?
в) Что изменится, если строить точки не на плоскости, а в пространстве? Каково тогда наименьшее k, для которого возможность построения любых k из данных N точек обеспечивает возможность построения и всех N> точек?
|
|
|
Сложность: 5+
Классы: 10,11
|
Докажите, что в пространстве существует такое расположение 2001 выпуклого многогранника, что никакие три из многогранников не имеют общих точек, а каждые два касаются друг друга (то есть имеют хотя бы одну граничную точку, но не имеют общих внутренних точек).
Страница:
<< 10 11 12 13 14 15 16 [Всего задач: 80]
Фильтр
