Каталог по темам

Задачи

Страница: << 39 40 41 42 43 44 45 >> [Всего задач: 333]

Задача 60700

Темы:	[	Простые числа и их свойства	]
	[	Арифметика остатков (прочее)	]
	[	Индукция (прочее)	]

Сложность: 4-
Классы: 9,10,11

В задаче 60477 были определены числа Евклида. Встретится ли каждое простое число в качестве сомножителя некоторого числа Евклида e_n?

Прислать комментарий

Решение

Задача 61404

Темы:	[	Алгебраические неравенства (прочее)	]
	[	Неравенство Коши	]
	[	Индукция (прочее)	]

Сложность: 4-
Классы: 10,11

Используя результат задачи 61403, докажите неравенства:
а) ≤ неравенство Коши);
б)

в) где b₁ + ... + b_n = 1.
Значения переменных считаются положительными.

Прислать комментарий

Решение

Задача 64770

Темы:	[	Монотонность, ограниченность	]
	[	Доказательство от противного	]
	[	Индукция (прочее)	]

Сложность: 4-
Классы: 9,10,11

Автор: Храбров А.

Дана функция f, определённая на множестве действительных чисел и принимающая действительные значения. Известно, что для любых x и y, таких, что x > y, верно неравенство (f(x))² ≤ f(y). Докажите, что множество значений функции содержится в промежутке [0,1].

Прислать комментарий

Решение

Задача 65385

Темы:	[	Теория чисел. Делимость (прочее)	]
	[	Четность и нечетность	]
	[	Индукция (прочее)	]
	[	Принцип Дирихле (прочее)	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9,10,11

Автор: Фольклор

У каждого целого числа от n + 1 до 2n включительно (n – натуральное) возьмём наибольший нечётный делитель и сложим все эти делители.
Докажите, что получится n².

Прислать комментарий

Решение

Задача 77994

Темы:	[	Шахматные доски и шахматные фигуры	]
	[	Четность и нечетность	]
	[	Индукция (прочее)	]
	[	Шахматная раскраска	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9,10

На бесконечной шахматной доске стоит конь. Найти все клетки, куда он может попасть за 2n ходов.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 39 40 41 42 43 44 45 >> [Всего задач: 333]