Страница:
<< 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 126]
|
|
|
Сложность: 3+
Классы: 7,8,9
|
Внутри выпуклого пятиугольника расположены две точки.
Докажите, что можно выбрать четырехугольник с
вершинами в вершинах пятиугольника так,
что в него попадут обе выбранные точки.
Подсказка
Прямая, проходящая через две данные точки, пересекает две стороны
пятиугольника.
Решение
Проведем прямую через две данные точки.
В одной из полуплоскостей от этой прямой лежит по крайней мере три
вершины A, B, C пятиугольника. Отрежем от пятиугольника треугольник с вершинами в этих
в точках A, B, C.
Получаем, что две данные точки лежат в оставшемся
четырехугольнике.
Это и требовалось в задаче.
Все точки окружности окрашены произвольным образом в два цвета.
Докажите, что найдётся равнобедренный треугольник с вершинами одного цвета, вписанный в эту окружность.
Подсказка
В правильном пятиугольнике каждые три вершины образуют равнобедренный треугольник.
Решение
Рассмотрим правильный пятиугольник, вписанный в данную окружность. Из его пяти вершин хотя бы три окрашены в один цвет. Они и являются вершинами
равнобедренного треугольника с вершинами одного цвета.
|
|
|
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10,11
|
Какое наименьшее количество квадратиков 1×1 надо нарисовать, чтобы получилось изображение квадрата 25×25, разделённого на 625 квадратиков 1×1?
Решение
Чтобы нарисовать границу квадрата, придётся нарисовать все 96 граничных квадратиков. Разобьём внутренний квадрат 23×23 на 264 доминошки 1×2 и один квадратик 1×1. Один из квадратиков каждой доминошки нужно нарисовать (иначе не будет изображен отрезок сетки внутри доминошки). Итого придётся нарисовать не менее 96 + 264 = 360 квадратиков.
С другой стороны, 360 квадратиков хватает. Рассмотрим шахматную раскраску квадрата, в которой угловые квадратики чёрные. Каждый отрезок сетки служит стороной приграничного или белого квадратика. Поэтому достаточно нарисовать все граничные (их 96) и все внутренние белые квадратики (их 264).
Ответ
360 квадратиков.
|
|
|
Сложность: 3+
Классы: 9,10,11
|
Какое максимальное число дамок можно поставить на чёрных полях шахматной доски
размером 8×8 так, чтобы каждую дамку била хотя бы одна из остальных?
Решение
Рассмотрим некоторую расстановку дамок, удовлетворяющую условию. Дамку,
стоящую на краю доски, не может бить никакая другая дамка, а значит, все дамки
стоят во "внутреннем" квадрате 6×6. Заметим, что ни в одном из квадратов 3×3 не может быть больше четырёх дамок. Действительно, если в одном из них пять дамок,то центральная его клетка – черная, и дамки стоят на всех чёрных полях этого квадрата. Но тогда дамку, стоящую в центре квадрата, не бьёт ни одна дамка. Следовательно, в квадрате 6×6 может стоять не более 4·4 = 16 дамок.
Пример расстановки шестнадцати дамок приведён на рисунке.
Ответ
16 дамок.
|
|
|
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10
|
Над квадратным катком нужно повесить четыре лампы так, чтобы они его полностью
освещали. На какой наименьшей высоте нужно повесить лампы, если каждая лампа
освещает круг радиуса, равного высоте, на которой она висит?
Решение
Ответ: на высоте
, где
a — сторона квадрата.
Рассмотрим следующие 5 точек: вершины квадрата и его центр. Если диаметр
круга меньше
, то он может содержать не более одной из
этих точек. Поэтому 4 круга радиуса меньше
не могут
целиком покрыть квадрат со стороной
a.
Легко видеть, что 4 круга, диаметрами которых служат отрезки, соединяющие
центр квадрата с его вершинами, полностью покрывают квадрат.
Страница:
<< 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 126]
Фильтр
