Страница:
<< 8 9 10 11 12 13
14 >> [Всего задач: 68]
|
|
|
Сложность: 5-
Классы: 9,10,11
|
Докажите, что из любого конечного множества точек на плоскости можно
так удалить одну точку, что оставшееся множество можно разбить на
две части меньшего диаметра.
(Диаметр – это максимальное расстояние между точками множества.)
|
|
|
Сложность: 5+
Классы: 8,9,10,11
|
Докажите, что три выпуклых многоугольника на плоскости нельзя пересечь одной
прямой тогда и только тогда, когда каждый многоугольник можно отделить от
двух других прямой (т.е. существует прямая такая, что этот многоугольник и
два остальных лежат по ее разные стороны).
|
|
|
Сложность: 5+
Классы: 9,10,11
|
В стране 100 городов, некоторые пары городов соединены дорогами. Для каждых четырёх городов существуют хотя бы две дороги между ними. Известно, что не существует маршрута, проходящего по каждому городу ровно один раз. Докажите, что можно выбрать два города таким образом, чтобы каждый из оставшихся городов был соединен дорогой хотя бы с одним из двух выбранных городов.
|
|
|
Сложность: 4-
Классы: 8,9,10
|
Играют двое, ходят по очереди. Первый ставит на плоскости красную точку,
второй в ответ ставит на свободные места 10 синих точек. Затем опять первый
ставит на свободное место красную точку, второй ставит на свободные места 10
синих, и т.д. Первый считается выигравшим, если какие-то три красные точки
образуют правильный треугольник. Может ли второй ему помешать?
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 8,9,10,11
|
Дано множество точек O, A1, A2, ..., An на плоскости. Расстояние между любыми двумя из этих точек является квадратным корнем из натурального числа. Докажите, что существуют
такие векторы x и y, что для любой точки Ai выполняется равенство 
где k и l – некоторые целые числа.
Страница:
<< 8 9 10 11 12 13
14 >> [Всего задач: 68]
Фильтр
