Страница:
<< 12 13 14 15 16 17 18 >> [Всего задач: 152]
|
|
|
Сложность: 4-
Классы: 7,8,9
|
В центре квадратного пирога находится изюминка. От пирога можно отрезать
треугольный кусок по линии, пересекающей в точках, отличных от вершин, две
соседние стороны; от оставшейся части пирога — следующий кусок (таким же
образом) и т.д. Можно ли отрезать изюминку?
Решение
В решении задачи
79618 доказано, что изюминку можно отрезать тогда и только тогда, когда её можно отрезать за один разрез. Следовательно, изюминку, стоящую в центре квадратного торта, отрезать нельзя.
Ответ
нельзя.
а) Квадрат разрезан на равные прямоугольные треугольники с катетами 3 и 4 каждый. Докажите, что число треугольников чётно.
б) Прямоугольник разрезан на равные прямоугольные треугольники с катетами 1 и 2 каждый. Докажите, что число треугольников чётно.
Решение
а) Сторона квадрата сложена из отрезков длины 3, 4, 5, поэтому её длина a – целое число. Площадь треугольника равна 6, следовательно, число треугольников k = a²/6. Отсюда a чётно, a² делится на 4 и k чётно.
б) Периметр каждого треугольника равен 3 + 
. Подсчитаем сумму периметров всех треугольников двумя способами. Во-первых, она равна k(3 + ), где k – число треугольников. Во-вторых, каждая сторона треугольника лежит либо на стороне прямоугольника, либо на одном из разрезов. Так как к каждому разрезу треугольники приставлены с двух сторон, то сумма периметров всех треугольников равна периметру прямоугольника плюс удвоенная сумма длин разрезов. Длина каждого разреза и длины сторон прямоугольника имеют вид p + q, где p и q – целые. Отсюда k(3 + ) = 2m + 2n (m, n целые). Значит, 3k = 2m и k чётно.
Правильный (2n+1)-угольник разбили диагоналями на 2n – 1 треугольник. Докажите, что среди них по крайней мере три равнобедренных.
Решение
Стороны треугольников являются либо сторонами, либо диагоналями исходного многоугольника. По крайней мере два треугольника содержат в качестве сторон по две стороны многоугольника (назовём такие треугольники малыми). Действительно, треугольников 2n – 1, а сторон многоугольника 2n + 1, при этом никакой треугольник не может содержать три такие стороны. Малые треугольники, очевидно, равнобедренные. Если их не менее трёх, то все доказано.
Пусть их всего два. Это значит, что любой другой треугольник содержит (в качестве стороны) ровно одну сторону многоугольника. Можно считать, что длина окружности равна 2n + 1, тогда каждая сторона многоугольника стягивает дугу длины 1. Треугольник, куда попал центр круга, остроугольный. Значит, каждый его угол опирается на дугу короче полуокружности, то есть длины не более n. Но один угол опирается на дугу длины 1, поэтому два других – на дуги длины n. Следовательно, эти углы равны, и треугольник равнобедренный.
|
|
|
Сложность: 4-
Классы: 9,10,11
|
Дан картонный прямоугольник со сторонами a см и b см, где b/2 < a < b.
Докажите, что его можно разрезать на три куска, из которых складывается квадрат.
Решение
См. рис.
AB = a, BC = b. Точка E выбирается так, что отрезок DE равен стороне квадрата (то есть 
), точки H и G – так, что треугольник AGH равен треугольнику FCE. При этом из полученных трёх частей автоматически складывается прямоугольник. Поскольку его площадь равна ab, а одна из сторон – , то это квадрат.
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 7,8,9,10
|
От пирога, имеющего форму выпуклого пятиугольника, можно отрезать треугольный
кусок по линии, пересекающей в точках, отличных от вершин, две соседние стороны;
от оставшейся части пирога — следующий кусок (таким же образом) и т.д.
В какие точки пирога можно воткнуть свечку, чтобы её нельзя было отрезать?
Решение
Ответ: свечку можно воткнуть в одну из точек многоугольника (включая
границу), закрашенного на рисунке. Будем решать задачу для произвольного многоугольника. Пусть
A0A1...
An - 1 — данный многоугольник,
An =
A0,
A−1 =
An−1. Свечку, воткнутую во внутреннюю точку одного из треугольников
Ai−1AiAi + 1 (
i = 0, 1, ...,
n − 1) или в точку на границе многоугольника
A0A1...
An−1, можно отрезать за один разрез. Заметим, что при каждом отрезании треугольного куска множество точек многоугольника, содержащихся в треугольниках вида
Ai - 1AiAi + 1, не
увеличивается (см. рисунок). Следовательно, никакую другую точку
многоугольника отрезать нельзя.
Ответ
свечку можно воткнуть в одну из точек многоугольника (включая
границу), закрашенного на рисунке.
Страница:
<< 12 13 14 15 16 17 18 >> [Всего задач: 152]
Фильтр
