Страница: << 40 41 42 43 44 45 46 >> [Всего задач: 276]      

Точки M и N лежат на стороне AC треугольника ABC на расстояниях соответственно 2 и 6 от вершины A. Найдите радиус окружности, проходящей через точки M и N и касающейся прямой AB, если угол BAC равен 30^o.

Прислать комментарий

Решение

Найдите радиус окружности, проходящей через вершину D трапеции ABCD, касающейся прямой AB, и пересекающей сторону AD в точке на расстоянии 1 от A, если угол ABC равен 120^o, а сторона BC равна 5.

Прислать комментарий

Решение

Медианы AA₀, BB₀ и CC₀ остроугольного треугольника ABC пересекаются в точке M, а высоты AA₁, BB₁ и CC₁ – в точке H. Касательная к описанной окружности треугольника A₁B₁C₁ в точке C₁ пересекает прямую A₀B₀ в точке C'. Точки A' и B' определяются аналогично. Докажите, что A', B' и C' лежат на одной прямой, перпендикулярной прямой MH.

Прислать комментарий

Решение

Точка M – середина стороны AC остроугольного треугольника ABC, в котором  AB > BC.  Касательные к описанной окружности Ω треугольника ABC, проведённые в точках A и C, пересекаются в точке P. Отрезки BP и AC пересекаются в точке S. Пусть AD – высота треугольника BP. Описанная окружность ω треугольника CSD второй раз пересекает окружность Ω в точке K. Докажите, что  ∠CKM = 90°.

Прислать комментарий

Решение

Дан треугольник ABC и прямая l, пересекающая прямые BC, AC, AB в точках L_a, L_b, L_c. Перпендикуляр, восставленный из точки L_a к BC, пересекает AB и AC в точках A_b и A_c соответственно. Точка O_a – центр описанной окружности треугольника AA_bA_c. Аналогично определим O_b и O_c. Докажите, что O_a, O_b и O_c лежат на одной прямой.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 40 41 42 43 44 45 46 >> [Всего задач: 276]