Каталог по темам

Задачи

Страница: << 4 5 6 7 8 9 10 [Всего задач: 49]

Задача 58094

Темы:	[	Принцип Дирихле (углы и длины)	]
	[	Центральная симметрия помогает решить задачу	]
	[	Центральный угол. Длина дуги и длина окружности	]
	[	Связь величины угла с длиной дуги и хорды	]

Сложность: 4+
Классы: 8,9,10

В окружности радиуса 1 проведено несколько хорд. Докажите, что если каждый диаметр пересекает не более k хорд, то сумма длин хорд меньше $\pi$ k.

Прислать комментарий Решение

Задача 108026

Темы:	[	Площадь треугольника (через две стороны и угол между ними)	]
	[	Тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике	]
	[	Тождественные преобразования (тригонометрия)	]
	[	Площадь четырехугольника	]
	[	Связь величины угла с длиной дуги и хорды	]

Сложность: 3
Классы: 8,9

Из вершины A квадрата ABCD со стороной 1 проведены два луча, пересекающие квадрат так, что вершина C лежит между лучами. Угол между лучами равен β. Из вершин B и D проведены перпендикуляры к лучам. Найдите площадь четырёхугольника с вершинами в основаниях этих перпендикуляров.

Прислать комментарий

Решение

Задача 108596

Темы:	[	Вспомогательные равные треугольники	]
	[	Параллелограмм Вариньона	]
	[	Поворот помогает решить задачу	]
	[	Ортоцентр и ортотреугольник	]
	[	Связь величины угла с длиной дуги и хорды	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

Дан невыпуклый несамопересекающийся четырёхугольник, который имеет три внутренних угла по 45°.
Докажите, что середины его сторон лежат в вершинах квадрата.

Прислать комментарий

Решение

Задача 110157

Темы:	[	Производная и кратные корни	]
	[	Гомотетия помогает решить задачу	]
	[	Гомотетичные окружности	]
	[	Признаки и свойства касательной	]
	[	Связь величины угла с длиной дуги и хорды	]

Сложность: 5
Классы: 9,10,11

Автор: Емельянов Л.А.

Окружности σ ₁ и σ ₂ пересекаются в точках A и B . В точке A к σ ₁ и σ ₂ проведены соответственно касательные l₁ и l₂ . Точки T₁ и T₂ выбраны соответственно на окружностях σ ₁ и σ ₂ так, что угловые меры дуг T₁A и AT₂ равны (величина дуги окружности считается по часовой стрелке). Касательная t₁ в точке T₁ к окружности σ ₁ пересекает l₂ в точке M₁ . Аналогично, касательная t₂ в точке T₂ к окружности σ ₂ пересекает l₁ в точке M₂ . Докажите, что середины отрезков M₁M₂ находятся на одной прямой, не зависящей от положения точек T₁ , T₂ .

Прислать комментарий Решение

Страница: << 4 5 6 7 8 9 10 [Всего задач: 49]