Страница: << 3 4 5 6 7 8 9 >> [Всего задач: 44]
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 8,9,10
|
Пусть A0 – середина стороны BC треугольника ABC, а A' – точка касания с этой стороной вписанной окружности. Построим окружность Ω с центром в A0 и проходящую через A'. На других сторонах построим аналогичные окружности. Докажите, что если Ω касается описанной окружности на дуге BC, не содержащей A, то еще одна из построенных окружностей касается описанной окружности.
Окружность проходит через вершины B и C треугольника ABC
и пересекает стороны AB и AC в точках D и E соответственно. Отрезки CD и BE пересекаются в точке O.
Пусть M и N – центры окружностей, вписанных соответственно в треугольники ADE и ODE. Докажите, что середина меньшей дуги DE лежат на прямой MN.
Диагонали выпуклого четырёхугольника ABCD
пересекаются в точке M . Пусть P и Q —
центры окружностей, описанных вокруг треугольников
ABM и CDM . Докажите, что AB+CD < 4PQ
|
|
|
Сложность: 4+
Классы: 8,9,10
|
На сторонах AC и BC неравнобедренного треугольника ABC во внешнюю сторону построены как на основаниях равнобедренные треугольники AB'C и CA'B с одинаковыми углами при основаниях, равными φ. Перпендикуляр, проведённый из вершины C к отрезку A'B', пересекает серединный перпендикуляр к отрезку AB в точке C1. Найдите угол AC1B.
|
|
|
Сложность: 6
Классы: 8,9,10,11
|
Окружность, вписанная в четырёхугольник ABCD , касается его
сторон DA , AB , BC и CD в точках K , L , M и N
соответственно. Пусть S1 , S2 , S3 и S4 –
окружности, вписанные в треугольники AKL , BLM , CMN и DNK
соответственно. К окружностям S1 и S2 , S2 и S3 ,
S3 и S4 , S4 и S1 проведены общие касательные,
отличные от сторон четырёхугольника ABCD . Докажите, что
четырёхугольник, образованный этими четырьмя касательными, – ромб.
Страница: << 3 4 5 6 7 8 9 >> [Всего задач: 44]
Тема:
Все темы
>>
Геометрия
>>
Планиметрия
>>
Окружности
>>
Вписанный угол
>>
Биссектриса делит дугу пополам
