Страница:
<< 81 82 83 84
85 86 87 >> [Всего задач: 505]
Противоположные стороны выпуклого шестиугольника параллельны. Hазовём
высотой такого шестиугольника отрезок с концами на прямых, содержащих противолежащие стороны и перпендикулярный им. Докажите, что вокруг этого шестиугольника можно описать окружность тогда и только тогда, когда его высоты можно параллельно перенести так, чтобы они образовали треугольник.
В треугольнике ABC ALa и AMa – внутренняя и внешняя биссектрисы угла A. Пусть ωa – окружность, симметричная описанной окружности Ωa треугольника ALaMa относительно середины BC. Окружность ωb определена аналогично. Докажите, что ωa и ωb касаются тогда и только тогда, когда треугольник ABC прямоугольный.
|
|
|
Сложность: 5
Классы: 9,10,11
|
Пусть $AM$ – медиана неравнобедренного треугольника $ABC$, $T$ – точка касания вписанной окружности $\omega$ со стороной $BC$, $S$ – вторая точка пересечения $\omega$ с отрезком $AT$. Докажите, что вписанная окружность треугольника $\delta$, образованного прямыми $AM$, $BC$ и касательной к $\omega$ в точке $S$, касается описанной окружности треугольника $ABC$.
|
|
|
Сложность: 5
Классы: 10,11
|
Сфера с центром в плоскости основания
ABC тетраэдра
SABC проходит
через вершины
A ,
B и
C и вторично пересекает ребра
SA ,
SB и
SC
в точках
A1
,
B1
и
C1
соответственно. Плоскости, касающиеся
сферы в точках
A1
,
B1
и
C1
, пересекаются в точке
O .
Докажите, что
O – центр сферы, описанной около тетраэдра
SA1
B1
C1
.
|
|
|
Сложность: 5
Классы: 10,11
|
Oснованием пирамиды служит выпуклый четырехугольник. Oбязательно ли
существует сечение этой пирамиды, не пересекающее основание и являющееся вписанным
четырехугольником?
Страница:
<< 81 82 83 84
85 86 87 >> [Всего задач: 505]
Фильтр
