Каталог по темам

Задачи

Страница: << 63 64 65 66 67 68 69 >> [Всего задач: 410]

Задача 55220

Темы:	[	Длины сторон (неравенства)	]
	[	Теорема косинусов	]
	[	Площадь треугольника (через две стороны и угол между ними)	]

Сложность: 4
Классы: 8,9

Докажите, что среди всех треугольников ABC с фиксированным углом $\angle$ A = $\alpha$ и площадью S наименьшую сторону BC имеет равнобедренный треугольник с основанием BC.

Прислать комментарий Решение

Задача 61170

Темы:	[	Геометрические интерпретации в алгебре	]
	[	Многочлены (прочее)	]
	[	Формула Герона	]
	[	Неравенства для площади треугольника	]

Сложность: 4
Классы: 10,11

Пусть x, y, z – положительные числа и xyz(x + y + z) = 1. Найдите наименьшее значение выражения (x + y)(x + z).

Прислать комментарий

Решение

Задача 61248

Темы:	[	Тождественные преобразования (тригонометрия)	]
	[	Теоремы синусов и косинусов для трехгранных углов	]
	[	Формула Герона	]

Сложность: 4
Классы: 10,11

Вторая теорема косинусов для трехгранного угла и аналог формулы Герона. Докажите, что из системы (8.6 ) следуют равенства

cos A = - cos B cos C + sin B sin C cos $\displaystyle \alpha$ ,

cos B = - cos A cos C + sin A sin C cos $\displaystyle \beta$ ,

cos C = - cos A cos B + sin A sin B cos $\displaystyle \gamma$ ,

tg $\displaystyle {\dfrac{A+B+ C-\pi}{4}}$ = $\displaystyle \sqrt{\hbox{\rm tg\ }\dfrac{p}{2}\hbox{\rm tg\ }\dfrac{p-\alpha}{2} \hbox{\rm tg\ }\dfrac{p-\beta}{2}\hbox{\rm tg\ }\dfrac{p-\gamma}{2}}$ ,

(8.8)

где 2p = $\alpha$ + $\beta$ + $\gamma$ .

Прислать комментарий

Решение

Задача 64659

Темы:	[	Разрезания на части, обладающие специальными свойствами	]
	[	Соображения непрерывности	]
	[	Формула Герона	]
	[	Неравенство треугольника (прочее)	]

Сложность: 4
Классы: 10,11

Автор: Шаповалов А.В.

Верно ли, что любой выпуклый многоугольник можно по прямой разрезать на два меньших многоугольника с равными периметрами и
а) равными наибольшими сторонами?
б) равными наименьшими сторонами?

Прислать комментарий

Решение

Задача 64759

Темы:	[	Правильный (равносторонний) треугольник	]
	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Площадь треугольника (через две стороны и угол между ними)	]
	[	Вспомогательные подобные треугольники	]
	[	Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды	]

Сложность: 4

Дан правильный треугольник ABC, площадь которого равна 1, и точка P на его описанной окружности. Прямые AP, BP, CP пересекают соответственно прямые BC, CA, AB в точках A', B', C'. Найдите площадь треугольника A'B'C'.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 63 64 65 66 67 68 69 >> [Всего задач: 410]