Каталог по темам

Задачи

Страница: << 12 13 14 15 16 17 18 >> [Всего задач: 241]

Задача 108658

Темы:	[	Векторы помогают решить задачу	]
	[	Вспомогательная окружность	]
	[	Ортогональная (прямоугольная) проекция	]

Сложность: 5
Классы: 8,9

Пусть B' — точка описанной окружности остроугольного треугольника ABC , диаметрально противоположная вершине B ; I — центр вписанной окружности треугольника ABC ; M — точка касания вписанной окружности со стороной AC . На сторонах AB и BC выбраны соответственно точки K и L , причём KB=MC и LB=AM . Докажите, что прямые B'I и KL перпендикулярны.

Прислать комментарий Решение

Задача 109799

Темы:	[	Вспомогательные проекции	]
	[	Принцип крайнего (прочее)	]
	[	Системы точек и отрезков (прочее)	]

Сложность: 5+
Классы: 9,10,11

Автор: Подлипский О.К.

Докажите, что не существует конечного множества, содержащего более 2N ( N>3 ) попарно неколлинеарных векторов на плоскости, обладающего следующими двумя свойствами.

Для любых N векторов этого множества найдется еще такой N-1 вектор из этого множества, что сумма всех 2N-1 векторов равна нулю;
для любых N векторов этого множества найдутся еще такие N векторов из этого множества, что сумма всех 2N векторов равна нулю.

Прислать комментарий

Решение

Задача 57700

Тема:

[

Скалярное произведение. Соотношения

]

Сложность: 5+
Классы: 9

В выпуклом четырехугольнике сумма расстояний от вершины до сторон одна и та же для всех вершин. Докажите, что этот четырехугольник является параллелограммом.

Прислать комментарий Решение

Задача 57720

Тема:

[

Вспомогательные проекции

]

Сложность: 5+
Классы: 9

Пусть a, b и c — длины сторон треугольника ABC, n_a, n_b и n_c — векторы единичной длины, перпендикулярные соответствующим сторонам и направленные во внешнюю сторону. Докажите, что

a³n_a + b³n_b + c³n_c = 12S^. $\displaystyle \overrightarrow{MO}$ ,

где S — площадь, M — точка пересечения медиан, O — центр описанной окружности треугольника ABC.

Прислать комментарий

Решение

Задача 57721

Тема:

[

Вспомогательные проекции

]

Сложность: 5+
Классы: 9

Пусть O и R — центр и радиус описанной окружности треугольника ABC, Z и r — центр и радиус его вписанной окружности; K — точка пересечения медиан треугольника с вершинами в точках касания вписанной окружности со сторонами треугольника ABC. Докажите, что точка Z лежит на отрезке OK, причем OZ : ZK = 3R : r.

Прислать комментарий Решение

Страница: << 12 13 14 15 16 17 18 >> [Всего задач: 241]