ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: << 1 2 3 4 >> [Всего задач: 16]      



Задача 57703

Тема:   [ Неравенства с векторами ]
Сложность: 4
Классы: 9

Десять векторов таковы, что длина суммы любых девяти их них меньше длины суммы всех десяти векторов. Докажите, что существует ось, проекция на которую каждого из десяти векторов положительна.
Прислать комментарий     Решение


Задача 57704

Тема:   [ Неравенства с векторами ]
Сложность: 4
Классы: 9

Точки A1,..., An лежат на окружности с центром O, причем $ \overrightarrow{OA_1}$ +...+ $ \overrightarrow{OA_n}$ = $ \overrightarrow{0}$. Докажите, что для любой точки X справедливо неравенство XA1 +...+ XAn$ \ge$nR, где R — радиус окружности.
Прислать комментарий     Решение


Задача 57705

Тема:   [ Неравенства с векторами ]
Сложность: 4
Классы: 9

Дано восемь вещественных чисел a, b, c, d, e, f, g, h. Докажите, что хотя бы одно из шести чисел ac + bd, ae + bf, ag + bh, ce + df, cg + dh, eg + fh неотрицательно.
Прислать комментарий     Решение


Задача 57706

Тема:   [ Неравенства с векторами ]
Сложность: 5
Классы: 9

На окружности радиуса 1 с центром O дано 2n + 1 точек P1,..., P2n + 1, лежащих по одну сторону от некоторого диаметра. Докажите, что |$ \overrightarrow{OP}_{1}^{}$ +...+ $ \overrightarrow{OP}_{2n+1}^{}$|$ \ge$1.
Прислать комментарий     Решение


Задача 57707

Тема:   [ Неравенства с векторами ]
Сложность: 6
Классы: 9

Пусть a1,a2,...,an — векторы, длины которых не превосходят 1. Докажите, что в сумме c = ±a1±a2...±an можно выбрать знаки так, что |c|$ \le$$ \sqrt{2}$.
Прислать комментарий     Решение


Страница: << 1 2 3 4 >> [Всего задач: 16]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .