ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: << 1 2 3 4 >> [Всего задач: 16]      



Задача 57708

Тема:   [ Неравенства с векторами ]
Сложность: 6+
Классы: 9

Из точки O выходит n векторов единичной длины, причем в любой полуплоскости, ограниченной прямой, проходящей через точку O, содержится не менее k векторов (предполагается, что граничная прямая входит в полуплоскость). Докажите, что длина суммы этих векторов не превосходит n - 2k.
Прислать комментарий     Решение


Задача 73810

Темы:   [ Неравенства с векторами ]
[ Вспомогательные проекции ]
[ Разбиения на пары и группы; биекции ]
[ Скалярное произведение. Соотношения ]
[ Скалярное произведение ]
[ Условная сходимость ]
Сложность: 9
Классы: 9,10,11

а) На плоскости даны n векторов, длина каждого из которых равна 1. Сумма всех n векторов равна нулевому вектору. Докажите, что векторы можно занумеровать так, чтобы при всех k = 1, 2, ..., n выполнялось следующее условие: длина суммы первых k векторов не превышает 3.

б) Докажите аналогичное утверждение для n векторов с суммой 0, длина каждого из которых не превосходит 1.

в) Можно ли заменить число 3 в пункте а) меньшим? Постарайтесь улучшить оценку и в пункте б).
Прислать комментарий     Решение


Задача 57079

Темы:   [ Правильные многоугольники ]
[ Неравенства с векторами ]
[ Центр масс ]
Сложность: 3
Классы: 9

Точка A лежит внутри правильного десятиугольника X1...X10, а точка B — вне его. Пусть  a = + ... +   и  b = + ... + .
Может ли оказаться, что  |a| > |b| ?

Прислать комментарий     Решение

Задача 116186

Темы:   [ Векторы помогают решить задачу ]
[ Неравенства с векторами ]
[ Неравенство треугольника (прочее) ]
[ Параллелограммы (прочее) ]
[ Ортогональная (прямоугольная) проекция ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9

В треугольнике ABC на стороне AB выбраны точки K и L так, что AK = BL, а на стороне BC — точки M и N так, что CN = BM. Докажите, что KN + LMAC.

Прислать комментарий     Решение

Задача 111838

Темы:   [ Скалярное произведение. Соотношения ]
[ Неравенства с векторами ]
[ Метод координат ]
Сложность: 4+
Классы: 9,10,11

Дан набор из n>2 векторов. Назовем вектор набора длинным, если его длина не меньше длины суммы остальных векторов набора. Докажите, что если каждый вектор набора– длинный, то сумма всех векторов набора равна нулю.
Прислать комментарий     Решение


Страница: << 1 2 3 4 >> [Всего задач: 16]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .