Страница: << 108 109 110 111 112 113 114 >> [Всего задач: 569]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 115292

Темы:   [ Три точки, лежащие на одной прямой ] [ Ортоцентр и ортотреугольник ] [ Серединный перпендикуляр к отрезку (ГМТ) ] [ Диаметр, основные свойства ] [ Вписанные и описанные окружности ] [ Свойства симметрий и осей симметрии ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Дан остроугольный треугольник ABC. Точки B' и C' симметричны соответственно вершинам B и C относительно прямых AC и AB. Пусть P – точка пересечения описанных окружностей треугольников ABB' и ACC', отличная от A. Докажите, что центр описанной окружности треугольника ABC лежит на прямой PA.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 116952

Темы:   [ Вписанные и описанные окружности ] [ Вневписанные окружности ] [ Общая касательная к двум окружностям ] [ Радиусы вписанной, описанной и вневписанной окружности (прочее) ] [ Вспомогательные подобные треугольники ] [ Симметрия помогает решить задачу ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10

Три попарно непересекающиеся окружности ω_x, ω_y, ω_z радиусов r_x, r_y, r_z лежат по одну сторону от прямой t и касаются её в точках X, Y, Z соответственно. Известно, что Y – середина отрезка XZ,  r_x = r_z = r,  а  r_y > r.  Пусть p – одна из общих внутренних касательных к окружностям ω_x и ω_y, а q – одна из общих внутренних касательных к окружностям ω_y и ω_z. В пересечении прямых p, q, t образовался неравнобедренный треугольник. Докажите, что радиус его вписанной окружности равен r.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 110766

Темы:   [ Шестиугольники ] [ Три прямые, пересекающиеся в одной точке ] [ Вписанные и описанные окружности ] [ Свойства серединных перпендикуляров к сторонам треугольника. ] [ Вписанные и описанные многоугольники ] [ Симметрия помогает решить задачу ]

Сложность: 4 Классы: 9,10,11

В шестиугольнике ABCDEF  AB = BC,  CD = DE,  EF = FA  и  ∠A = ∠C = ∠E.
Докажите, что главные диагонали шестиугольника пересекаются в одной точке.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 98151

Темы:   [ Отношение площадей треугольников с общим углом ] [ Теоремы Чевы и Менелая ] [ Теорема синусов ] [ Аналитический метод в геометрии ] [ Трапеции (прочее) ] [ Симметрия помогает решить задачу ]

Сложность: 4+ Классы: 8,9

Дан угол с вершиной O и внутри него точка A. Рассмотрим такие точки M, N на разных сторонах данного угла, что углы MAO и OAN равны.
Докажите, что все прямые MN проходят через одну точку (или параллельны).

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 115368

Темы:   [ Треугольники с углами $60^\circ$ и $120^\circ$ ] [ Углы между биссектрисами ] [ Вспомогательная окружность ] [ Вписанные четырехугольники (прочее) ] [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ] [ Свойства симметрий и осей симметрии ]

Сложность: 5- Классы: 8,9

В треугольнике ABC угол A равен 60^o . Пусть BB₁ и CC₁  — биссектрисы этого треугольника. Докажите, что точка, симметричная вершине A относительно прямой B₁C₁ , лежит на стороне BC .

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 108 109 110 111 112 113 114 >> [Всего задач: 569]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями