Страница: << 3 4 5 6 7 8 9 >> [Всего задач: 45]
Даны две окружности. Общая внешняя касательная касается их
в точках A и B . Точки X , Y на окружностях таковы, что
существует окружность, касающаяся данных в этих точках, причем
одинаковым образом (внешним или внутренним). Найдите
геометрическое место точек пересечения прямых AX и BY .
Задача Паппа. III в. н.э.}На отрезке AB взята точка
C и на отрезках AB , BC , CA как на диаметрах построены
соответственно полуокружности α , β , γ по одну сторону от
AC . В криволинейный треугольник, образованный этими
полуокружностями, вписана окружность δ1 , в криволинейный
треугольник, образованный полуокружностями α , β и
окружностью δ1 , вписана окружность δ2 и т.д.
(окружность δn вписана в криволинейный треугольник,
образованный полуокружностями α , β и окружностью
δn-1 , n=2,3, .. ). Пусть rn — радиус окружности
δn , dn — расстояние от центра окружности δn
до прямой AB . Докажите, что 
= 2n .
|
|
|
Сложность: 6-
Классы: 8,9,10,11
|
Окружность σ касается равных сторон AB и AC равнобедренного
треугольника ABC и пересекает сторону BC в точках K и L .
Отрезок AK пересекает σ второй раз в точке M . Точки P и
Q симметричны точке K относительно точек B и C соответственно.
Докажите, что описанная окружность треугольника PMQ касается
окружности σ .
|
|
|
Сложность: 6+
Классы: 9,10,11
|
Дан выпуклый четырёхугольник ABCD . Пусть P и Q – точки пересечения лучей BA и CD , BC и AD соответственно, а H – проекция D на PQ . Докажите, что четырёхугольник ABCD является описанным тогда и только тогда, когда вписанные окружности треугольников ADP и CDQ видны из точки H под равными углами.
На окружности фиксированы точки A и B, а точка C движется по
этой окружности. Найдите геометрическое место точек пересечения
медиан треугольников ABC.
Страница: << 3 4 5 6 7 8 9 >> [Всего задач: 45]
Фильтр
