Страница: << 17 18 19 20 21 22 23 >> [Всего задач: 289]      

Существует ли треугольник, для сторон x, y, z которого выполнено соотношение  x³ + y³ + z³ = (x + y)(y + z)(z + x)?

Прислать комментарий

Решение

a, b, c – длины сторон треугольника. Докажите, что  

Прислать комментарий

Решение

На плоскости расположено такое конечное множество точек M, что никакие три точки не лежат на одной прямой. Некоторые точки соединены друг с другом отрезками так, что из каждой точки выходит не более одного отрезка. Разрешается заменить пару пересекающихся отрезков AB и CD парой противоположных сторон AC и BD четырёхугольника ACBD. В полученной системе отрезков разрешается снова произвести подобную замену, и т. д. Может ли последовательность таких замен быть бесконечной?

Прислать комментарий

Решение

В вершине A единичного квадрата ABCD сидит муравей. Ему надо добраться до точки C, где находится вход в муравейник. Точки A и C разделяет вертикальная стена, имеющая вид равнобедренного прямоугольного треугольника с гипотенузой BD. Найдите длину кратчайшего пути, который надо преодолеть муравью, чтобы попасть в муравейник.

Прислать комментарий

Решение

Докажите, что если точка M лежит внутри треугольника ABC, то MB + MC < AB + AC.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 17 18 19 20 21 22 23 >> [Всего задач: 289]