Страница:
<< 18 19 20 21
22 23 24 >> [Всего задач: 156]
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 10,11
|
Bнутри треугольника ABC выбрана произвольная точка M. Докажите, что MA + MB + MC ≤ max {AB + BC, BC + AC, AC + AB}.
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 8,9,10,11
|
Даны N синих и N красных палочек, причём сумма длин синих палочек равна сумме длин красных. Известно, что из синих палочек можно сложить N-угольник, и из красных – тоже. Всегда ли можно выбрать одну синюю и одну красную палочки и перекрасить их (синюю – в красный цвет, а красную – в синий) так, что снова из синих палочек можно будет сложить N-угольник, и из красных – тоже? Решите задачу
а) для N = 3;
б) для произвольного натурального N > 3.
Середины соседних сторон выпуклого многоугольника соединены
отрезками. Докажите, что периметр многоугольника, образованного
этими отрезками, не меньше половины периметра исходного
многоугольника.
|
|
|
Сложность: 4+
Классы: 10,11
|
Дан тетраэдр, в который можно вписать сферу, касающуюся всех его рёбер. Пусть отрезки касательных из вершин равны a, b, c и d. Всегда ли можно из этих четырёх отрезков сложить какой-нибудь треугольник? (Не обязательно использовать все отрезки. Разрешается образовывать сторону треугольника из двух отрезков.)
|
|
|
Сложность: 5-
Классы: 9,10,11
|
На плоскости дано бесконечное множество точек
S , при этом
в любом квадрате
1×1
лежит конечное число точек из множества
S .
Докажите, что найдутся две разные точки
A и
B из
S
такие, что для любой другой точки
X из
S выполняются неравенства:
|XA|,|XB|
0,999|AB|.
Страница:
<< 18 19 20 21
22 23 24 >> [Всего задач: 156]
Фильтр
