Каталог по темам

Задачи

Страница: << 16 17 18 19 20 21 22 >> [Всего задач: 156]

Задача 86993

Темы:	[	Описанные многогранники	]
Темы:	[	Неравенство треугольника (прочее)	]

Сложность: 4
Классы: 8,9

В треугольной пирамиде SABC боковое ребро SC равно ребру AB и наклонено к плоскости основания ABC под углом 60^o . Известно, что вершины A , B , C и середины боковых рёбер пирамиды расположены на сфере радиуса 1. Докажите, что центр этой сферы лежит на ребре AB , и найдите высоту пирамиды.

Прислать комментарий Решение

Задача 108172

Темы:	[	Ломаные	]
	[	Неравенство треугольника (прочее)	]
	[	Экстремальные свойства (прочее)	]

Сложность: 4
Классы: 8,9

Ломаная разбивает круг на две равновеликие части. Докажите, что кратчайшая такая ломаная – это диаметр.

Прислать комментарий

Решение

Задача 108474

Темы:	[	Длины сторон (неравенства)	]
Темы:	[	Неравенство треугольника (прочее)	]

Сложность: 4
Классы: 8,9

Известно, что a, b и c — длины сторон треугольника. Докажите, что

$\displaystyle {\frac{a}{b+c-a}}$ + $\displaystyle {\frac{b}{c+a-b}}$ + $\displaystyle {\frac{c}{a+b-c}}$ $\displaystyle \ge$ 3.

Прислать комментарий Решение

Задача 109176

Темы:	[	Отрезок, соединяющий середины ребер	]
	[	Неравенство треугольника (прочее)	]
	[	Длины и периметры (геометрические неравенства)	]
	[	Средняя линия треугольника	]

Сложность: 4
Классы: 10,11

Середины противоположных рёбер тетраэдра соединены. Доказать, что сумма трёх полученных отрезков меньше полусуммы рёбер тетраэдра.

Прислать комментарий Решение

Задача 110770

Темы:	[	Углы между биссектрисами	]
	[	Неравенство треугольника (прочее)	]
	[	Вписанные и описанные окружности	]

Сложность: 4
Классы: 8,9

Точка I – центр вписанной окружности треугольника ABC. Внутри треугольника выбрана точка P такая, что

ÐPBA + ÐPCA = ÐPBC + ÐPCB.
Докажите, что AP ≥ AI, причём равенство выполняется тогда и только тогда, когда P совпадает с I.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 16 17 18 19 20 21 22 >> [Всего задач: 156]