Страница: << 2 3 4 5 6 7 8 >> [Всего задач: 79]
Пусть
(
: 
: 
) — абсолютные барицентрические координаты
точки X; M — центр масс
треугольника ABC.
Докажите, что
3
= ( - )
+ ( - )
+ ( - )
.
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 9,10,11
|
Дана система из n точек на плоскости, причём известно, что для любых двух
точек данной системы можно указать движение плоскости, при котором первая точка
перейдёт во вторую, а система перейдёт сама в себя. Доказать, что все точки
такой системы лежат на одной окружности.
|
|
|
Сложность: 4+
Классы: 8,9,10
|
n отрезков A1 B1 , A2 B2 , ... , An Bn (рис. 5) расположены
на плоскости так, что каждый из них начинается на одной из двух данных
прямых, оканчивается на другой прямой, и проходит через точку G (не
лежащую на данных прямых) — центр тяжести единичных масс, помещенных
в точках A1 , A2 , ... , An . Докажите, что
+
+...+
=n.
На сторонах AB, BC, CD и DA выпуклого четырехугольника ABCD
взяты точки K, L, M и N соответственно, причем
AK : KB = DM : MC = 
и
BL : LC = AN : ND = 
. Пусть P —
точка пересечения отрезков KM и LN. Докажите, что
NP : PL = и
KP : PM = .
Найдите внутри треугольника ABC точку O, обладающую следующим
свойством: для любой прямой, проходящей через O и пересекающей
сторону AB в точке K и сторону BC в точке L, выполнено равенство
p
+ q
= 1, где p и q — данные положительные
числа.
Страница: << 2 3 4 5 6 7 8 >> [Всего задач: 79]
Фильтр
