Каталог по темам

Задачи

Страница: << 57 58 59 60 61 62 63 >> [Всего задач: 331]

Задача 108942

Темы:	[	Вневписанные окружности	]
	[	Медиана, проведенная к гипотенузе	]
	[	Две касательные, проведенные из одной точки	]
	[	Средняя линия треугольника	]
	[	Признаки и свойства равнобедренного треугольника.	]

Сложность: 4
Классы: 8,9

Вневписанная окружность треугольника ABC касается его стороны BC в точке K, а продолжения стороны AB – в точке L. Другая вневписанная окружность касается продолжений сторон AB и BC в точках M и N соответственно. Прямые KL и MN пересекаются в точке X. Докажите, что CX – биссектриса угла ACN.

Прислать комментарий

Решение

Задача 109176

Темы:	[	Отрезок, соединяющий середины ребер	]
	[	Неравенство треугольника (прочее)	]
	[	Длины и периметры (геометрические неравенства)	]
	[	Средняя линия треугольника	]

Сложность: 4
Классы: 10,11

Середины противоположных рёбер тетраэдра соединены. Доказать, что сумма трёх полученных отрезков меньше полусуммы рёбер тетраэдра.

Прислать комментарий Решение

Задача 109681

Темы:	[	Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках	]
	[	Биссектриса угла	]
	[	Признаки и свойства равнобедренного треугольника.	]
	[	Средняя линия треугольника	]
	[	Параллельные прямые, свойства и признаки. Секущие	]

Сложность: 4
Классы: 7,8,9

Автор: Сонкин М.

В треугольнике ABC (AB > BC) проведены медиана BM и биссектриса BL. Прямая, проходящая через точку M параллельно AB, пересекает BL в точке D, а прямая, проходящая через L параллельно BC, пересекает BM в точке E. Докажите, что прямые ED и BL перпендикулярны.

Прислать комментарий

Решение

Задача 65805

Темы:	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Инверсия помогает решить задачу	]
	[	Радикальная ось	]
	[	Средняя линия треугольника	]

Сложность: 4+
Классы: 9,10

Автор: Хилько Д.

На стороне BC треугольника ABC взята произвольная точка D. Через D и A проведены окружности ω₁ и ω₂ так, что прямая BA касается ω₁, прямая CA касается ω₂. BX – вторая касательная, проведённая из точки B к окружности ω₁, CY – вторая касательная, проведённая из точки C к окружности ω₂. Докажите, что описанная окружность треугольника XDY касается прямой BC.

Прислать комментарий

Решение

Задача 111728

Темы:	[	Пересекающиеся сферы	]
	[	Пересекающиеся окружности	]
	[	Диаметр, основные свойства	]
	[	Средняя линия треугольника	]
	[	Признаки и свойства равнобедренного треугольника.	]

Сложность: 4+
Классы: 10,11

В пространстве даны две пересекающиеся сферы разных радиусов и точка A, принадлежащая обеим сферам. Докажите, что в пространстве существует точка B, обладающая следующим свойством: если через точки A и B провести произвольную окружность, то точки ее повторного пересечения с данными сферами будут равноудалены от B.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 57 58 59 60 61 62 63 >> [Всего задач: 331]