Страница: << 56 57 58 59 60 61 62 >> [Всего задач: 331]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 35489

Темы:   [ Вписанные и описанные окружности ] [ Четыре точки, лежащие на одной окружности ] [ Теорема о длинах касательной и секущей; произведение всей секущей на ее внешнюю часть ] [ Средняя линия треугольника ]

Сложность: 4 Классы: 9,10,11

Дан правильный треугольник ABC с центром O. Прямая, проходящая через вершину C, пересекает описанную окружность треугольника AOB в точках D и E. Докажите, что точки A, O и середины отрезков BD, BE лежат на одной окружности.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 64803

Темы:   [ Гомотетия помогает решить задачу ] [ Признаки и свойства параллелограмма ] [ ГМТ - прямая или отрезок ] [ Средняя линия треугольника ] [ Вспомогательные подобные треугольники ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10

Пусть M – середина хорды AB окружности с центром O. Точка K симметрична M относительно O, P – произвольная точка окружности. Перпендикуляр к AB в точке A и перпендикуляр к PK в точке P пересекаются в точке Q. Точка H – проекция P на AB. Докажите, что прямая QB делит отрезок PH пополам.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 108127

Темы:   [ Три точки, лежащие на одной прямой ] [ Вписанные и описанные окружности ] [ Вневписанные окружности ] [ Средняя линия треугольника ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

В треугольнике ABC через O, I обозначены центры описанной и вписанной окружностей соответственно. Вневписанная окружность ω_a касается продолжений сторон AB и AC в точках K и M соответственно, а стороны BC – в точке N. Известно, что середина P отрезка KM лежит на описанной окружности треугольника ABC. Докажите, что точки O, N и I лежат на одной прямой.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 108178

Темы:   [ Три прямые, пересекающиеся в одной точке ] [ Свойства биссектрис, конкуррентность ] [ Гомотетия помогает решить задачу ] [ Средняя линия треугольника ] [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ] [ Ломаные ]

Сложность: 4 Классы: 9,10,11

Дан треугольник ABC. Точка B₁ делит пополам длину ломаной ABC (составленной из отрезков AB и BC), точка C₁ делит пополам длину ломаной ACB, точка A₁ делит пополам длину ломаной CAB. Через точки A₁, B₁ и C₁ проводятся прямые l_A, l_B и l_C, параллельные биссектрисам углов BAC, ABC и ACB соответственно. Докажите, что прямые l_A, l_B и l_C пересекаются в одной точке.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 108194

Темы:   [ Параллельные прямые, свойства и признаки. Секущие ] [ Вспомогательная окружность ] [ Четыре точки, лежащие на одной окружности ] [ Средняя линия треугольника ] [ Отрезок, видимый из двух точек под одним углом ] [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Хорда CD окружности с центром O перпендикулярна её диаметру AB, а хорда AE делит пополам радиус OC.
Докажите, что хорда DE делит пополам хорду BC.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 56 57 58 59 60 61 62 >> [Всего задач: 331]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями