Каталог по темам

Задачи

Страница: << 60 61 62 63 64 65 66 >> [Всего задач: 331]

Задача 108945

Темы:	[	Три точки, лежащие на одной прямой	]
	[	Вневписанные окружности	]
	[	Медиана, проведенная к гипотенузе	]
	[	Две касательные, проведенные из одной точки	]
	[	Средняя линия треугольника	]

Сложность: 4
Классы: 8,9

Одна из вневписанных окружностей треугольника ABC касается стороны AB и продолжений сторон CA и CB в точках C₁, B₁ и A₁ соответственно. Другая вневписанная окружность касается стороны AC и продолжений сторон BA и BC в точках B₂, C₂ и A₂ соответственно. Прямые A₁B₁ и A₂B₂ пересекаются в точке P, прямые A₁C₁ и A₂C₂ – в точке Q. Докажите, что точки A, P и Q лежат на одной прямой.

Прислать комментарий

Решение

Задача 56887

Темы:	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Периметр треугольника	]
	[	Три прямые, пересекающиеся в одной точке	]
	[	Вписанный угол равен половине центрального	]
	[	Средняя линия треугольника	]
	[	Свойства биссектрис, конкуррентность	]

Сложность: 4+
Классы: 8,9

Точка E – середина той дуги AB описанной окружности треугольника ABC, на которой лежит точка C; C₁ – середина стороны AB. Из точки E опущен перпендикуляр EF на AC. Докажите, что:
а) прямая C₁F делит пополам периметр треугольника ABC;
б) три такие прямые, построенные для каждой стороны треугольника, пересекаются в одной точке.

Прислать комментарий

Решение

Задача 116901

Темы:	[	Ортоцентр и ортотреугольник	]
	[	Свойства симметрий и осей симметрии	]
	[	Ромбы. Признаки и свойства	]
	[	Признаки и свойства равнобедренного треугольника.	]
	[	Средняя линия треугольника	]
	[	Четыре точки, лежащие на одной окружности	]

Сложность: 4+
Классы: 8,9

Автор: Швецов Д.В.

Высоты AA₁, CC₁ остроугольного треугольника ABC пересекаются в точке H. Точка Q симметрична середине стороны AC относительно AA₁. Точка P – середина отрезка A₁C₁. Докажите, что ∠QPH = 90°.

Прислать комментарий

Решение

Задача 53127

Темы:	[	Угол между касательной и хордой	]
	[	Теорема косинусов	]
	[	Теорема синусов	]
	[	Неравенство треугольника (прочее)	]
	[	Средняя линия треугольника	]

Сложность: 5
Классы: 8,9

Около треугольника ABC описана окружность с центром в точке O. Касательная к окружности в точке C пересекается с прямой, делящей пополам угол B треугольника, в точке K, причём угол BKC равен половине разности утроенного угла A и угла C треугольника. Сумма сторон AC и AB равна 2 + $\sqrt{3}$ , а сумма расстояний от точки O до сторон AC и AB равна 2. Найдите радиус окружности.

Прислать комментарий Решение

Задача 53128

Темы:	[	Угол между касательной и хордой	]
	[	Теорема косинусов	]
	[	Теорема синусов	]
	[	Неравенство треугольника (прочее)	]
	[	Средняя линия треугольника	]

Сложность: 5
Классы: 8,9

Около треугольника ABC описана окружность с центром в точке O. Касательная к окружности в точке C пересекается с прямой, делящей пополам угол B треугольника, в точке K, причём угол BKC равен половине угла C треугольника. Сторона AB на $\sqrt{3}$ длиннее стороны AC, а расстояние от точки O до стороны AC на 1 больше расстояния от точки O до стороны AB. Найдите радиус окружности.

Прислать комментарий Решение

Страница: << 60 61 62 63 64 65 66 >> [Всего задач: 331]