Страница: << 5 6 7 8 9 10 11 >> [Всего задач: 222]      

На сторонах AB, BC и CA треугольника ABC построены во внешнюю сторону квадраты ABB₁A₂, BCC₁B₂ и CAA₁C₂.
Докажите, что перпендикуляры к отрезкам A₁A₂, B₁B₂ и C₁C₂, восставленные в их серединах, пересекаются в одной точке.

Прислать комментарий

Решение

Вписанная окружность треугольника ABC касается стороны AC в точке D, DM — диаметр окружности. Прямая BM пересекает сторону AC в точке K. Докажите, что AK = DC.

Прислать комментарий

Решение

В четырёхугольнике ABCD стороны AB и CD равны, причём лучи AB и DC пересекаются в точке O. Докажите, что прямая, проходящая через середины диагоналей, перпендикулярна биссектрисе угла AOD.

Прислать комментарий

Решение

В неравнобедренном треугольнике $ABC$ точка $M$ – середина $BC$, $P$ – ближайшая к $A$ точка пересечения луча $AM$ и вписанной окружности треугольника, $Q$ – дальняя от $A$ точка пересечения луча $AM$ и вневписанной окружности. Касательная к вписанной окружности в точке $P$ пересекает $BC$ в точке $X$, а касательная к вневписанной окружности в точке $Q$ пересекает $BC$ в точке $Y$. Докажите, что $MX=MY$.

Прислать комментарий

Решение

На плоскости расположены три окружности S₁, S₂, S₃ радиусов r₁, r₂, r₃ соответственно — каждая вне двух других, причём r₁ > r₂ и r₁ > r₃. Из точки пересечения общих внешних касательных к окружностям S₁ и S₂ проведены касательные к окружности S₃, а из точки пересечения общих внешних касательных к окружностям S₁ и S₃ проведены касательные к окружности S₂. Докажите, что последние две пары касательных образуют четырёхугольник, в который можно вписать окружность, и найдите её радиус.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 5 6 7 8 9 10 11 >> [Всего задач: 222]