Страница: << 8 9 10 11 12 13 14 >> [Всего задач: 67]      

Окружность с центром I, вписанная в треугольник ABC, касается сторон BC, CA, AB в точках A₁, B₁, C₁ соответственно. Пусть I_a, I_b, I_c – центры вневписанных окружностей треугольника ABC, касающихся соответственно сторон BC, CA, AB. Отрезки I_aB₁ и I_bA₁ пересекаются в точке C₂. Аналогично отрезки I_bC₁ и I_cB₁ пересекаются в точке A₂, а отрезки I_cA₁ и I_aC₁ – в точке B₂. Докажите, что I является центром описанной окружности треугольника A₂B₂C₂.

Прислать комментарий

Решение

В выпуклом четырёхугольнике ABCD провели биссектрисы l_a, l_b, l_c и l_d внешних углов при вершинах A, B, C и D соответственно. Точки пересечения прямых l_a и l_b, l_b и l_c, l_c и l_d, l_d и l_a обозначили через K, L, M и N. Известно, что три перпендикуляра, опущенных из точки K на AB, из L на BC, из M на CD пересекаются в одной точке. Докажите, что четырёхугольник ABCD – вписанный.

Прислать комментарий

Решение

Из точки A на биссектрисе угла с вершиной L опущены перпендикуляры AK и AM на стороны угла. На отрезке KM взята точка P (K лежит между Q и L), а прямую ML – в точке S. Известно, что  ∠KLM = α,  KM = a,  QS = b.  Найдите KQ.

Прислать комментарий

Решение

В выпуклом четырёхугольнике ABCD лучи AB и DC пересекаются в точке K. На биссектрисе угла AKD нашлась такая точка P, что прямые BP и CP делят пополам отрезки AC и BD соответственно. Докажите, что  AB = CD.

Прислать комментарий

Решение

Биссектрисы AA₁ и BB₁ треугольника ABC пересекаются в точке I. На отрезках A₁I и B₁I построены как на основаниях равнобедренные треугольники с вершинами A₂ и B₂, лежащими на прямой AB. Известно, что прямая CI делит отрезок A₂B₂ пополам. Верно ли, что треугольник ABC – равнобедренный?

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 8 9 10 11 12 13 14 >> [Всего задач: 67]