Страница: << 5 6 7 8 9 10 11 >> [Всего задач: 209]      

Высоты остроугольного треугольника $ABC$ пересекаются в точке $H$. Пусть $P$ – произвольная точка внутри (и не на сторонах) треугольника $ABC$, лежащая на описанной окружности треугольника $ABH$, и $A', B', C'$ – проекции точки $P$ на прямые $BC, CA, AB$. Докажите, что описанная окружность треугольника $A'B'C'$ проходит через середину отрезка $CP$.

Прислать комментарий

Решение

Точки $P$, $Q$ лежат внутри окружности $\omega$. Серединный перпендикуляр к отрезку $PQ$ пересекает $\omega$ в точках $A$ и $D$. Окружность с центром $D$, проходящая через $P$ и $Q$, пересекает $\omega$ в точках $B$ и $C$. Отрезок $PQ$ лежит внутри треугольника $ABC$. Докажите, что $\angle ACP = \angle BCQ$.

Прислать комментарий

Решение

Пусть O – центр описанной окружности ω остроугольного треугольника ABC. Окружность ω₁ с центром K проходит через точки A, O и C и пересекает стороны AB и BC в точках M и N. Известно, что точки L и K симметричны относительно прямой MN. Докажите, что  BL ⊥ AC.

Прислать комментарий

Решение

В окружность с центром O вписан треугольник ABC (A > 90^o). Продолжение биссектрисы AF угла A этого треугольника пересекает окружность в точке L, а радиус AO пересекает сторону BC в точке E. Пусть AH — высота треугольника ABC. Найдите отношение площади треугольника OAL к площади четырёхугольника OEFL, если известно, что AL = 4, AH = и AEH = 60^o.

Прислать комментарий

Решение

В окружность с центром O вписан треугольник BAC с тупым углом при вершине A. Точка P является серединой большей из дуг, стягиваемых хордой BC. Радиус OA пересекает сторону BC в точке L, а хорда AP пересекает сторону BC в точке Q. Пусть AF — высота треугольника BAC. Найдите отношение площади треугольника AOP к площади треугольника AQF, если известно, что биссектриса угла A треугольника ALF равна , AP = и OPA = 30^o.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 5 6 7 8 9 10 11 >> [Всего задач: 209]