Страница:
<< 9 10 11 12
13 14 15 >> [Всего задач: 99]
|
|
Сложность: 3 Классы: 10,11
|
Докажите, что центры коник, проходящих через
точки
A,
B,
C и
D, образуют конику

.
|
|
Сложность: 3 Классы: 10,11
|
Докажите следующие свойства коники Г из задачи
31.058:
а) Г проходит через 6 середин отрезков, соединяющих пары
данных точек, и через 3 точки пересечения прямых, соединяющих пары
данных точек.
б) Центр Г совпадает с центром масс точек A, B, C и D.
в) Если D — точка пересечения высот треугольника ABC, то
Г — окружность девяти точек этого треугольника.
д)
Если четырехугольник ABCD вписанный, то Г —
гипербола с перпендикулярными асимптотами. В этом случае оси всех
коник пучка параллельны асимптотам Г.
|
|
Сложность: 3 Классы: 10,11
|
Пусть коники

и

касаются в точках
A и
B, a коники

и

касаются в точках
C и
D,
причем

и

имеют четыре общие точки.
Тогда у коник

и

есть пара общих хорд, проходящих через точку
пересечения прямых
AB и
CD.
|
|
Сложность: 3 Классы: 10,11
|
Пусть
a и
b — фиксированные комплексные числа.
Докажите, что при изменении φ от 0 до 2π точки вида
aei
+
be-i
заметают эллипс или отрезок.
|
|
Сложность: 3 Классы: 10,11
|
Пусть
a,
b,
c,
d — фиксированные числа. Докажите, что когда угол

пробегает все возможные значения, точки с координатами
x =
a cos

+
b sin

,
y =
c cos

+
d sin
заметают эллипс или отрезок.
Страница:
<< 9 10 11 12
13 14 15 >> [Всего задач: 99]