Страница:
<< 210 211 212 213
214 215 216 >> [Всего задач: 1240]
|
|
|
Сложность: 4+
Классы: 8,9,10
|
Докажите, что при любом натуральном n справедливо неравенство 
|
|
|
Сложность: 4+
Классы: 9,10,11
|
Пусть –1 < x1 < x2 < ... < xn < 1 и 
Докажите, что если y1 < y2 < ... < yn, то 
|
|
|
Сложность: 4+
Классы: 9,10,11
|
В магическом квадрате n×n, составленном из чисел 1, 2, ..., n², центры каждых двух клеток соединили вектором в направлении от большего числа к меньшему. Докажите, что сумма всех полученных векторов равна нулю. (Магическим называется клетчатый квадрат, в клетках которого записаны
числа так, что суммы чисел во всех его строках и столбцах равны.)
|
|
|
Сложность: 4+
Классы: 9,10,11
|
Пусть $x_1 \le \dots \le x_n$. Докажите неравенство $$\bigg( \sum \limits_{i,j=1}^n |x_i-x_j|\bigg)^2 \le \frac{2 (n^2-1)}{3} \sum \limits_{i,j=1}^n (x_i-x_j)^2.$$
Докажите, что оно обращается в равенство только если числа $x_1, \dots, x_n$ образуют арифметическую прогрессию.
|
|
|
Сложность: 4+
Классы: 7,8,9
|
В каждой клетке квадратной таблицы написано по числу. Известно, что в каждой строке таблицы сумма двух наибольших чисел равна a,
а в каждом столбце сумма двух наибольших чисел равна b. Докажите, что a = b.
Страница:
<< 210 211 212 213
214 215 216 >> [Всего задач: 1240]
Фильтр
