Страница: << 164 165 166 167 168 169 170 >> [Всего задач: 1240]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 73575

Темы:   [ Суммы числовых последовательностей и ряды разностей ] [ Подсчет двумя способами ] [ Сочетания и размещения ] [ Рекуррентные соотношения (прочее) ] [ Разбиения на пары и группы; биекции ]

Сложность: 5 Классы: 8,9,10

Найдите суммы
  а)   1·n + 2(n – 1) + 3(n – 2) + ... + n·1.
  б)   S_n,k = (1·2·...·k)·(n(n – 1)...(n – k + 1)) + (2·3·...·(k + 1))·((n – 1)(n – 2)...(n – k)) + ... + ((n – k + 1)(n – k + 2)...·n)·(k(k – 1)·...·1).

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 73635

Темы:   [ Тождественные преобразования (тригонометрия) ] [ Разбиения на пары и группы; биекции ] [ Теорема Виета ] [ Комплексные числа помогают решить задачу ] [ Алгебраические уравнения в C. Извлечение корня ]

Сложность: 5 Классы: 9,10,11

Сумма тангенсов углов величиной 1°, 5°, 9°, 13°, ..., 173°, 177° равна 45. Докажите это.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 73693

Темы:   [ Доказательство от противного ] [ Обратный ход ] [ Принцип крайнего (прочее) ]

Сложность: 5 Классы: 7,8,9

Треугольная таблица строится по следующему правилу: в верхней её строке написано одно только натуральное число a > 1, а далее под каждым числом k слева пишем число k² , а справа — число k + 1. Докажите, что в каждой строке таблицы все числа разные.

Например, при a = 2 вторая строка состоит из чисел 4 и 3, третья — из чисел 16, 5, 9 и 4, четвёртая — из чисел 256, 17, 25, 6, 81, 10, 16 и 5.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 73694

Темы:   [ Числовые таблицы и их свойства ] [ Перебор случаев ]

Сложность: 5 Классы: 7,8,9

Можно ли расставить цифры 0, 1 и 2 в клетках листа клетчатой бумаги размером 100×100 таким образом, чтобы в каждом прямоугольнике размером 3×4, стороны которого идут по сторонам клеток, оказалось бы три нуля, четыре единицы и пять двоек?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 73714

Темы:   [ Ортоцентр и ортотреугольник ] [ Итерации ] [ Неравенства для углов треугольника ] [ Геометрические интерпретации в алгебре ] [ Признаки подобия ] [ Сжимающие отображения и неподвижные точки ] [ Композиции движений. Теорема Шаля ]

Сложность: 5 Классы: 9,10,11

Для каждого непрямоугольного треугольника T обозначим через T₁ треугольник, вершинами которого служат основания высот треугольника T; через T₂ – треугольник, вершинами которого служат основания высот треугольника T₁; аналогично определим треугольники T₃, T₄ и так далее. Каким должен быть треугольник T, чтобы
  а) треугольник T₁ был остроугольным?
  б) в последовательности T₁, T₂, T₃, ... встретился прямоугольный треугольник T_n (и таким образом треугольник T_n+1 не определён)?
  в) треугольник T₃ был подобен треугольнику T?
  г) Для каждого натурального числа n выясните, сколько существует неподобных друг другу треугольников T, для которых треугольник T_n подобен треугольнику Т.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 164 165 166 167 168 169 170 >> [Всего задач: 1240]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями