Каталог по темам

Задачи

Страница: << 21 22 23 24 25 26 27 >> [Всего задач: 355]

Задача 57446

Темы:	[	Геометрические интерпретации в алгебре	]
	[	Симметричные неравенства для углов треугольника	]
	[	Неравенства с описанными, вписанными и вневписанными окружностями	]
	[	Синусы и косинусы углов треугольника	]

Сложность: 4+
Классы: 9,10

а) 1 < cos $\alpha$ + cos $\beta$ + cos $\gamma$ $\leq$ 3/2;
б) 1 < sin( $\alpha$ /2) + sin( $\beta$ /2) + sin( $\gamma$ /2) $\leq$ 3/2.

Прислать комментарий Решение

Задача 57663

Темы:	[	Метод координат на плоскости	]
	[	Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства	]
	[	ГМТ - прямая или отрезок	]

Сложность: 4+
Классы: 8,9,10

Квадрат ABCD вращается вокруг своего неподвижного центра. Найдите геометрическое место середин отрезков PQ, где P — основание перпендикуляра, опущенного из точки D на неподвижную прямую l, а Q — середина стороны AB.

Прислать комментарий Решение

Задача 58395

Темы:	[	Комплексные числа в геометрии	]
	[	Свойства инверсии	]
	[	Проективные преобразования плоскости	]

Сложность: 4+
Классы: 9,10,11

Докажите, что точки, соответствующие комплексным числам a, b, c, лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда число ${\frac{a-b}{a-c}}$ , называемое простым отношением трех комплексных чисел, вещественно.
б) Докажите, что точки, соответствующие комплексным числам a, b, c, d, лежат на одной окружности (или на одной прямой) тогда и только тогда, когда число ${\frac{a-c}{a-d}}$ : ${\frac{b-c}{b-d}}$ , называемое двойным отношением четырех комплексных чисел, вещественно.

Прислать комментарий Решение

Задача 109866

Темы:	[	Метод координат на плоскости	]
	[	Целочисленные решетки (прочее)	]
	[	Покрытия	]

Сложность: 5-
Классы: 9,10,11

Авторы: Берзиньш А., Изместьев И.В.

На прямоугольном столе разложено несколько одинаковых квадратных листов бумаги так, что их стороны параллельны краям стола (листы могут перекрываться). Докажите, что можно воткнуть несколько булавок таким образом, что каждый лист будет прикреплен к столу ровно одной булавкой.

Прислать комментарий Решение

Задача 107856

Темы:	[	Метод координат на плоскости	]
	[	Системы линейных уравнений	]
	[	Принцип крайнего (прочее)	]
	[	Линейная и полилинейная алгебра	]
	[	Доказательство от противного	]

Сложность: 5-
Классы: 9,10,11

Автор: Произволов В.В.

На отрезке [0, 1] отмечено несколько различных точек. При этом каждая отмеченная точка расположена либо ровно посередине между двумя другими отмеченными точками (не обязательно соседними с ней), либо ровно посередине между отмеченной точкой и концом отрезка. Докажите, что все отмеченные точки рациональны.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 21 22 23 24 25 26 27 >> [Всего задач: 355]