Страница:
<< 55 56 57 58
59 60 61 >> [Всего задач: 332]
|
|
|
Сложность: 5
Классы: 10,11
|
На плоскости рассматривается конечное множество равных, параллельно расположенных квадратов, причем
среди любых
k+1
квадратов найдутся два пересекающихся. Докажите, что это множество можно разбить
не более чем на
2
k-1
непустых подмножеств так, что в каждом подмножестве все квадраты будут иметь общую точку.
|
|
|
Сложность: 5
Классы: 8,9,10,11
|
На прямой через равные промежутки отмечены 1996 точек. Петя
раскрашивает половину из них в красный цвет, а остальные – в синий. Затем
Вася разбивает их на пары красная-синяя так, чтобы сумма расстояний
между точками в парах была максимальной. Докажите, что этот максимум не
зависит от того, какую раскраску сделал Петя.
|
|
|
Сложность: 5+
Классы: 8,9,10,11
|
В соревнованиях по n-борью участвуют 2n человек. Для
каждого спортсмена известна его сила в каждом из видов программы. Соревнования
проходят следующим образом: сначала все спортсмены участвуют в первом виде
программы и лучшая половина из них выходит в следующий круг. Эта половина
принимает участие в следующем виде и половина из них выходит в следующий круг,
и т.д., пока в n-м виде программы не будет определен победитель. Назовем
спортсмена возможным победителем, если можно так расставить виды спорта в программе, что он станет победителем.
а) Докажите, что может так случиться, что хотя бы половина спортсменов является возможными победителями.
б) Докажите, что число возможных победителей не превосходит 2n – n.
в) Докажите, что может так случиться, что возможных
победителей ровно 2n – n.
|
|
|
Сложность: 6-
Классы: 8,9,10
|
На плоскости нарисовано несколько прямоугольников со сторонами, параллельными осям координат. Известно, что каждые два прямоугольника можно пересечь вертикальной или горизонтальной прямой.
Докажите, что можно провести одну горизонтальную и одну вертикальную прямую так, чтобы любой прямоугольник пересекался хотя бы с одной из этих двух прямых.
|
|
|
Сложность: 9
Классы: 9,10,11
|
а) На плоскости даны
n векторов, длина каждого из которых
равна 1. Сумма всех
n векторов равна нулевому вектору. Докажите, что векторы можно занумеровать так, чтобы при всех
k = 1, 2, ...,
n выполнялось следующее условие: длина суммы первых
k векторов не
превышает 3.
б) Докажите аналогичное утверждение для n векторов с суммой 0, длина каждого из которых не превосходит 1.
в) Можно ли заменить число 3 в пункте а) меньшим? Постарайтесь улучшить оценку и в пункте б).
Страница:
<< 55 56 57 58
59 60 61 >> [Всего задач: 332]
Фильтр
