Страница:
<< 133 134 135 136
137 138 139 >> [Всего задач: 697]
|
|
|
Сложность: 5-
Классы: 9,10,11
|
Куб n×n×n сложен из единичных кубиков. Дана замкнутая несамопересекающаяся ломаная, каждое звено которой соединяет центры двух соседних (имеющих общую грань) кубиков. Назовём отмёченными грани кубиков, пересекаемые данной ломаной. Докажите, что рёбра кубиков можно окрасить в два цвета так, чтобы каждая отмеченная грань имела нечётное число, а всякая неотмеченная грань – чётное число сторон каждого цвета.
|
|
|
Сложность: 5-
Классы: 10,11
|
Сфера, вписанная в тетраэдр, касается одной из его граней в точке пересечения биссектрис, другой – в точке пересечения высот, третьей – в точке пересечения медиан. Докажите, что тетраэдр правильный.
|
|
|
Сложность: 5
Классы: 10,11
|
На диагонали
AC нижней грани единичного куба
ABCDA1B1C1D1
отложен отрезок
AE длины
l . На диагонали
B1D1 его верхней
грани отложен отрезок
B1F длиной
ml . При каком
l (и
фиксированном
m>0 ) длина отрезка
EF будет наименьшей?
|
|
|
Сложность: 5
Классы: 10,11
|
По шоссе в одном направлении едут 10 автомобилей. Шоссе проходит через несколько населённых пунктов. Каждый из автомобилей едет с некоторой постоянной скоростью в населённых пунктах и с некоторой другой постоянной скоростью вне населённых пунктов. Для разных автомобилей эти скорости могут отличаться. Вдоль шоссе расположено 2011 флажков. Известно, что каждый автомобиль проехал мимо
каждого флажка, причём около флажков обгонов не происходило. Докажите, что мимо каких-то двух флажков автомобили проехали в одном и том же порядке.
|
|
|
Сложность: 3
Классы: 10,11
|
Может ли некоторое сечение куба быть правильным пятиугольником?
Страница:
<< 133 134 135 136
137 138 139 >> [Всего задач: 697]
Фильтр
