Каталог по темам

Задачи

Страница: << 131 132 133 134 135 136 137 >> [Всего задач: 697]

Задача 64984

Темы:	[	Тетраэдр (прочее)	]
	[	Перпендикулярные прямые в пространстве	]
	[	Перпендикулярность прямой и плоскости (прочее)	]

Сложность: 4+
Классы: 10,11

Автор: Акопян А.В.

Дано два тетраэдра A₁A₂A₃A₄ и B₁B₂B₃B₄. Рассмотрим шесть пар рёбер A_iA_j и B_kB_l, где (i, j, k, l) – перестановка чисел (1, 2, 3, 4) (например, A₁A₂ и B₃B₄). Известно, что во всех парах, кроме одной, рёбра перпендикулярны. Докажите, что в оставшейся паре рёбра тоже перпендикулярны.

Прислать комментарий

Решение

Задача 65234

Темы:	[	Сферы (прочее)	]
	[	Пересекающиеся окружности	]
	[	Перпендикулярные плоскости	]
	[	Окружности на сфере	]

Сложность: 4+
Классы: 10,11

Автор: Кожевников П.А.

В пространстве дан треугольник ABC и сферы S₁ и S₂, каждая из которых проходит через точки A, B и C. Для точек M сферы S₁, не лежащих в плоскости треугольника ABC, проводятся прямые MA, MB и MC, пересекающие сферу S₂ вторично в точках A₁, B₁ и C₁ соответственно. Докажите, что плоскости, проходящие через точки A₁, B₁ и C₁, касаются фиксированной сферы либо проходят через фиксированную точку.

Прислать комментарий

Решение

Задача 109640

Темы:	[	Раскраски	]
	[	Куб	]
	[	Ломаные и пространственные многоугольники	]
	[	Четность и нечетность	]

Сложность: 5-
Классы: 9,10,11

Автор: Смуров М.В.

Куб n×n×n сложен из единичных кубиков. Дана замкнутая несамопересекающаяся ломаная, каждое звено которой соединяет центры двух соседних (имеющих общую грань) кубиков. Назовём отмёченными грани кубиков, пересекаемые данной ломаной. Докажите, что рёбра кубиков можно окрасить в два цвета так, чтобы каждая отмеченная грань имела нечётное число, а всякая неотмеченная грань – чётное число сторон каждого цвета.

Прислать комментарий

Решение

Задача 109643

Темы:	[	Сфера, вписанная в тетраэдр	]
	[	Развертка помогает решить задачу	]
	[	Теорема о трех перпендикулярах	]
	[	Правильный тетраэдр	]
	[	Признаки и свойства равнобедренного треугольника.	]
	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Замечательные точки и линии в треугольнике (прочее)	]

Сложность: 5-
Классы: 10,11

Автор: Агаханов Н.Х.

Сфера, вписанная в тетраэдр, касается одной из его граней в точке пересечения биссектрис, другой – в точке пересечения высот, третьей – в точке пересечения медиан. Докажите, что тетраэдр правильный.

Прислать комментарий

Решение

Задача 108997

Темы:	[	Максимальное/минимальное расстояние	]
	[	Куб	]
	[	Теорема Пифагора в пространстве	]

Сложность: 5
Классы: 10,11

На диагонали AC нижней грани единичного куба ABCDA₁B₁C₁D₁ отложен отрезок AE длины l . На диагонали B₁D₁ его верхней грани отложен отрезок B₁F длиной ml . При каком l (и фиксированном m>0 ) длина отрезка EF будет наименьшей?

Прислать комментарий Решение

Страница: << 131 132 133 134 135 136 137 >> [Всего задач: 697]