Каталог по темам

Выбрано 7 задач

На плоскости дан многоугольник A₁A₂...A_n и точка O внутри его. Докажите, что равенства

$\displaystyle \overrightarrow{OA_1}$ + $\displaystyle \overrightarrow{OA_3}$ = 2 cos $\displaystyle {\frac{2\pi}{n}}$ $\displaystyle \overrightarrow{OA_2}$ ,
1 $\displaystyle \overrightarrow{OA_2}$ + $\displaystyle \overrightarrow{OA_4}$ = 2 cos $\displaystyle {\frac{2\pi}{n}}$ $\displaystyle \overrightarrow{OA_3}$ ,
to4.5cm $\displaystyle \dotfill$
$\displaystyle \overrightarrow{OA_{n-1}}$ + $\displaystyle \overrightarrow{OA_1}$ = 2 cos $\displaystyle {\frac{2\pi}{n}}$ $\displaystyle \overrightarrow{OA_n}$ .

необходимы и достаточны для того, чтобы существовало аффинное преобразование, переводящее данный многоугольник в правильный, а точку O — в его центр.

Решение

Докажите, что треугольник ABC остроугольный тогда и только тогда, когда длины его проекций на три различных направления равны.

Решение

Найдите объем наклонной треугольной призмы, основанием которой служит равносторонний треугольник со стороной, равной a, если боковое ребро призмы равно стороне основания и наклонено к плоскости основания под углом 60^o.

Решение

Автор: Произволов В.В.

Докажите, что из шести ребер тетраэдра можно сложить два треугольника.

Решение

а) Дан кусок проволоки длиной 120 см. Можно ли, не ломая проволоки, изготовить каркас куба с ребром 10 см?
б) Какое наименьшее число раз придется ломать проволоку, чтобы всё же изготовить требуемый каркас?

Решение

Автор: Фомин Д.

На плоскости дано N прямых (N > 1), никакие три из которых не пересекаются в одной точке и никакие две не параллельны. Докажите, что в частях, на которые эти прямые разбивают плоскость, можно расставить ненулевые целые числа, по модулю не превосходящие N, так, что суммы чисел по любую сторону от любой из данных прямых равны нулю.

Решение

Пусть $\angle$ A < $\angle$ B < $\angle$ C < 90^o. Докажите, что центр вписанной окружности треугольника ABC лежит внутри треугольника BOH, где O — центр описанной окружности, H — точка пересечения высот.

Решение

Задача 109315

Задача 109318

Задача 109337

Задача 109338

Задача 110288