Страница:
<< 26 27 28 29 30 31
32 >> [Всего задач: 159]
|
|
|
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10,11
|
Даны окружность $\omega$ и не лежащая на ней точка $P$. Пусть $ABC$ – произвольный правильный треугольник, вписанный в $\omega$, а точки $A'$, $B'$, $C'$ – проекции $P$ на прямые $BC$, $CA$, $AB$. Найдите геометрическое место центров тяжести треугольников $A'B'C'$.
|
|
|
Сложность: 4-
Классы: 10,11
|
При каком наибольшем $n$ существует выпуклый многогранник с $n$ гранями, обладающий следующим свойством: для любой грани найдется точка вне многогранника, из которой видны остальные $n-1$ грани?
|
|
|
Сложность: 4+
Классы: 10,11
|
а) Внутри сферы находится некоторая точка A. Через A провели три попарно перпендикулярные прямые, которые пересекли сферу в шести точках.
Докажите, что центр масс этих точек не зависит от выбора такой тройки прямых.
б) Внутри сферы находится икосаэдр, его центр A не обязательно совпадает с центром сферы. Лучи, выпущенные из A в вершины икосаэдра, высекают 12 точек на сфере. Икосаэдр повернули так, что его центр остался на месте. Теперь лучи высекают 12 новых точек.
Докажите, что их центр масс совпадает с центром масс старых 12 точек.
Дана правильная треугольная пирамида SABC, ребро основания которой равно 1. Из вершин A и B основания ABC проведены медианы боковых граней, не имеющие общих точек. Известно, что на прямых, содержащих эти медианы, лежат рёбра некоторого куба. Найдите длину бокового ребра пирамиды.
|
|
|
Сложность: 3+
Классы: 10,11
|
В пространстве даны восемь параллельных плоскостей таких, что расстояния между
каждыми двумя соседними равны. На каждой из плоскостей выбирается по точке. Могут ли выбранные точки оказаться вершинами куба.
Страница:
<< 26 27 28 29 30 31
32 >> [Всего задач: 159]
Фильтр
